5.10.5. Периодические орбиты

Поскольку других интегралов кроме интеграла Якоби не существует, то получить полный набор решений ограниченной задачи невозможно. По этой причине внимание исследователей уже очень давно было обращено на изучение периодических орбит. Согласно предположению Пуанкаре, такие орбиты должны часто встречаться среди всех возможных решений задачи, ограниченных в фазовом пространстве. Предполагалось, что их обнаружение и исследование будет достаточным для качественного описания всех возможных решений, а периодичность решений облегчит их нахождение и изучение их свойств.

Под фазовым пространством подразумевается -мерное пространство, образованное координатами и скоростями тел. В общей задаче тел эти величин удовлетворяют 10 интегральным соотношениям, поэтому размерность фазового пространства можно понизить до трехмерной (пространственной) ограниченной задаче трех тел координаты и компоненты скоростей частиц связаны между собой интегралом Якоби и размерность фазового пространства можно уменьшить до пяти. Если траекторию частицы ограничить плоскостью орбит двух массивных тел, то размерность фазового пространства уменьшается до трех.

Точка в фазовом пространстве определяет состояние системы в данный момент времени t. С течением времени точка в фазовом пространстве описывает траекторию, которую не следует путать с физической траекторией какой-либо частицы в реальном пространстве. Фазовая траектория определяется уравнениями движения и начальными условиями. В случае плоской ограниченной круговой задачи трех тел начальные условия представлены значениями (в момент ), между которыми в силу интеграла Якоби существует связь

В это соотношение массы двух тел и расстояния между ними входят как параметры. Если начальные условия изменить , то они определят новую траекторию.

В ограниченной задаче трех тел орбиты называются периодическими, если периодическим является движение бесконечно малой частицы относительно вращающейся системы координат. Пуанкаре в своей классической работе, посвященной ограниченной задаче, говорил, что изучение периодических орбит является важнейшим вопросом и отправным пунктом в задаче классификации решений. Особое значение, которое он придавал периодическим орбитам, отражается в его знаменитом предположении: если дано частное решение ограниченной задачи, то всегда можно найти периодическое решение (быть может, с очень большим периодом), обладающее тем свойством, что при любом t оно сколь угодно мало отличается от исходного решения. В терминах фазового пространства это утверждение можно выразить следующим образом: если дана точка в фазовом пространстве, то сколь угодно близко от нее всегда существует другая точка, соответствующая периодической орбите. Предположение Пуанкаре относилось только к решениям, ограниченным в фазовом пространстве, т. е. он не рассматривал орбиты, соответствующие уходу или столкновению.

Задача состоит в том, чтобы дать полную, «глобальную», картину свойств ограниченной круговой задачи трех тел при любых значениях инерционного параметра (отношения массы меньшего

из двух конечных тел к массе всей системы). Поиск семейств периодических орбит выполняется при данном значении . Теоретически, для того чтобы доказать существование периодических орбит в ограниченной задаче, можно провести исследование при а затем аналитически продолжить полученные результаты в область положительных . Такой подход, примененный впервые Пуанкаре, использовался и многими другими исследователями. Пуанкаре в своей работе, основанной на методе аналитического продолжения, разделил периодические орбиты ограниченной задачи на три класса. Орбиты первого класса рождаются из круговых орбит задачи двух тел орбиты второго класса рождаются из эллиптических орбит задачи двух тел Периодические орбиты третьего класса также рождаются из орбит задачи двух тел, но при отличном от нуля наклонении орбиты бесконечно малой частицы к плоскости движения основных тел . Другими словами, первые два класса орбит относятся к плоской ограниченной круговой задаче, а третий класс относится к пространственной ограниченной круговой задаче.

Возможны и другие методы исследования. Это численно-аналитические или численные методы, использующие для поиска семейств периодических орбит подходящие методы численного интегрирования.

Помимо работы Дарвина и Штрёмгрена, положившей начало таким исследованиям, наиболее полный анализ периодических орбит в ограниченной задаче был выполнен Эноном [10, 11], 114] и Броуке [2]. Ими были рассмотрены случаи соответственно. Здесь под исследованием случая подразумевается не задача двух тел, а система, получающаяся в результате специального предельного перехода из ограниченной задачи трех тел в форме Хилла.

Другими исследователями [6, 7, 27, 28] были рассмотрены случаи (система Солнце — Юпитер) и (система Земля — Луна). Кроме того, исследованию системы Солнце — Юпитер посвящены работы [3, 4, 8, 18—23, 30, 31].

Можно отметить, что заниматься исследованием периодических орбит нас побуждают следующие причины:

1) они играют важную роль в природе;

2) возможно их использование в качестве опорных орбит (как подразумевалось в гипотезе Пуанкаре);

3) их поиск и классификация практически осуществимы (например, при помощи метода аналитического продолжения Пуанкаре и разделения на три класса);

4) находить их можно точно и быстро, так как для этого требуется интегрирование на конечном отрезке времени (на периоде).