4.4. Решение задачи двух тел

На рис. 4.1 сила тяготения действующая на направлена вдоль вектора в сторону тела в то время как сила приложенная к действует в противоположном направлении. Из третьего закона Ньютона

Имеем

Введем векторы направленные из некоторой фиксированной точки О к частицам с массами соответственно. После подстановки (4.2) в (4.4), (4.5) уравнения движения частиц под действием сил взаимного притяжения принимают вид

Рис. 4.1.

Складывая уравнения (4.6) и (4.7), получаем

откуда следуют два интеграла:

и

где а и b — постоянные векторы.

Если ввести радиус-вектор R центра масс G двух частиц , то

где

Тогда уравнения (4.8) и (4.9) принимают вид

Эти соотношения показывают, что центр масс системы движется с постоянной скоростью.

Уравнения (4.6) и (4.7) можно переписать так:

и

Рис. 4.2.

Вычитая (4.11) из (4.10), получаем

но , следовательно,

где

Умножая векторно (4.12) на , получаем

и после интегрирования

где h — постоянный вектор.

Это есть интеграл кинетического момента. Поскольку h — постоянный вектор, имеющий неизменное направление при всех t, то движение одного тела относительно другого совершается в плоскости, определяемой направлением

В этой плоскости вводятся полярные координаты (рис. 4.2). Проекции скорости на направление радиуса-вектора, проведенного из и на перпендикуляр к радиусу-вектору равны , где точкой обозначается дифференцирование по времени .

Тогда

Здесь I и J — это единичные векторы, направленные вдоль радиуса-вектора и вдоль перпендикуляра к нему. Подставляя (4.14) в (4.13), получаем

где К — единичный вектор вдоль нормали к плоскости орбиты. Тогда можно написать

Как видно, постоянная h равна удвоенной скорости, с которой радиус-вектор заметает площадь. Это и есть математическая форма второго закона Кеплера.

Если теперь умножить уравнение (4.12) скалярно на , то получим соотношение

которое можно проинтегрировать. В результате находим

или

Здесь С — постоянная интегрирования. Это соотношение представляет собой закон сохранения энергии системы. Заметим, что величина С не есть полная энергия системы; член относится к кинетической энергии, а член — — к потенциальной энергии системы (см. разд. 4.10).

Обращаясь снова к рис. 4.2 и вспоминая, что проекции ускорения тела на радиус-вектор и на перпендикулярное направление равны соответственно уравнение (4.12) можно записать в виде

откуда следуют два скалярных уравнения:

Из второго уравнения получаем интеграл кинетического момента

Используя обычную подстановку и исключая из (4.17), (4.19) время, получаем

Общее решение этого уравнения имеет вид

где А и — две постоянные интегрирования.

После обратного перехода к (4.20) принимает вид

Уравнение конического сечения в полярных координатах можно записать следующим образом:

где

Из решения задачи двух тел следует, в частности, и первый закон Кеплера. Орбиты одного тела относительно другого классифицируются в соответствии с величиной эксцентриситета: при орбита является эллипсом, при — параболой, при — гиперболой.

Следует заметить, что случай включает в себя также вырожденные в прямую линию эллипс, параболу и гиперболу (см. разд. 4.8). Случай соответствует эллипсу с нулевым эксцентриситетом (т. е. окружности). Далее все эти случаи будут подробно исследованы.