4.6. Параболическая орбита

В этом случае задачи двух тел (при орбита незамкнута. Второе тело, приходя из бесконечности, при наибольшем сближении достигает максимальной скорости, после чего снова уходит в бесконечность (рис. 4.7).

Уравнение параболической орбиты, получающееся из (4.21), если в нем положить имеет вид

где, как и раньше, представляют соответственно фокальный полупараметр и истинную аномалию.

Интеграл площадей имеет вид

где . Видно, что при .

Если оси декартовой системы координат направлены так, как показано на рис. 4.7, то каноническое уравнение параболы записывается следующим образом:

Скорость V тела на параболической орбите, как и раньше, представляется в виде

Дифференцируя (4.76) и учитывая (4.77), можно показать, что для V справедливо следующее простое соотношение:

Имеет место интересная связь между круговой и параболической скоростями. В разд. 4.5.2 было показано, что скорость на круговой орбите радиуса а определяется формулой

Если тело получит такой импульс, что его скорость V станет удовлетворять соотношению

то тело перейдет на параболическую орбиту и уйдет по ней в бесконечность. Тело достигнет бесконечности с нулевой скоростью (в уравнении (4.78) надо положить , поэтому параболическую скорость называют еще скоростью освобождения. Из уравнений (4.79) и (4.80) видно, что

Рис. 4.7.

Это соотношение полезно запомнить.

Теперь уравнение (4.76) можно записать в виде

Тогда (4.77), даст

или

Интегрируя, получаем

где x — момент прохождения перигелия.

Если ввести таким образом, чтобы

[ср. с (4.74)] и положить

то уравнение (4.82) запишется в виде

Уравнения (4.82) и (4.83) представляют собой модификации уравнения Баркера, которое широко применялось при изучении орбит комет, а теперь используется в астродинамике. При помощи этого уравнения были составлены таблицы, позволяющие путем интерполяции находить по и наоборот [13].

Чтобы решить уравнение Баркера, являющееся кубическим относительно , положим

так что

Тогда (4.82) преобразуется к виду

Введем s следующим образом:

Тогда

и путем последовательного решения уравнений

можно получить решение уравнения Баркера. После определения значение находится из соотношения

Скорость определяется из уравнения (4.78).

Для угла между вектором скорости и радиусом-вектором получаем формулу

которая при помощи (4.77) и (4.78) приводится к виду

    (4.86)

Эту связь можно выразить следующим образом:

Итак, если известны элементы параболической орбиты , то возможно прямое вычисление значений для данного считается известным).

Если, наоборот, заданы значения и I, то элементы параболической орбиты могут быть найдены последовательным применением (4.87), (4.85) и (4.82).