4.12. Ряды для f и g

Решение уравнения

    (4-122)

где можно получить в виде временного ряда, у которого коэффициенты при разных степенях времени являются функциями постоянных , т. е. значений при

Прежде всего введем новую независимую переменную

Тогда уравнение (4.122) примет вид

Для того чтобы найти коэффициенты ряда, будем дифференцировать уравнение (4.123), получая более высокие производные и исключать при помощи (4.123) все производные выше первого порядка, появляющиеся в правой части. Затем подставим значения при . Таким образом получим

и т. д. Здесь и т. д.

Введем постоянные s, и и w следующим образом:

Тогда видно, что ряд Тейлора

в котором коэффициенты при степенях имеют вид

и т. д., является решением уравнения.

Решение можно представить в виде

где

Если мало, то ряды быстро сходятся и могут быть полезны, например, при определении орбит (см. гл. 13). Однако, поскольку уравнение (4.12) нелинейное, коэффициенты при более высоких степенях становятся очень громоздкими. Поэтому применение рядов ограничивается малыми величинами , при которых членами более высокого порядка можно пренебречь. Заметим, однако, что в [8] были даны точные выражения для коэффициентов по полученные при выполнении аналитических выкладок на ЭВМ.

При использовании рядов надо помнить, что единица измерения такова, что

В разд. 4.5.5 и 4.5.6 было показано, что уравнение Кеплера можно решить итерационным) численным методом или при помощи аналитической процедуры, приводящей к так называемому уравнению центра. Точно так же существуют численные методы, позволяющие находить значения коэффициентов более высокого порядка, не зная их точного аналитического вида. Методы, основанные на рекуррентных формулах, предпочтительнее применять в тех случаях, когда мы можем воспользоваться ЭВМ.