5.10.7. Примеры семейств периодических орбит

К настоящему времени обнаружено и исследовано огромное число периодических орбит. В этом разделе будет приведено только несколько примеров. В период 1913-1939 гг. Штрёмгреном и учеными копенгагенской школы было выполнено исчерпывающее исследование плоской ограниченной задачи при когда оба массивных тела имеют единичные массы и отстоят друг от друга на единичном расстоянии (рассмотренную ими специальную задачу обычно называют копенгагенской). Периодические орбиты в этой задаче симметричны относительно оси у (во вращающейся системе координат с началом в центре масс двух массивных тел). Что касается изучения эволюции периодических орбит внутри семейства, то выполненное ими исследование имеет огромную ценность, но ограничено случаем Поскольку нам известно, что устойчивые периодические орбиты около треугольных точек Лагранжа существуют при (значение называется значением Рауса), то изучением одной копенгагенской задачи ограничиваться нельзя.

Свойства решений ограниченной задачи зависят от величины параметра Существуют такие особые значения (например, значение Рауса), при переходе через которые определенные классы орбит могут исчезать, появляться или изменять свой характер. Поэтому необходима полная, «глобальная», картина решений задачи при различных

При исследовании копенгагенской задачи было обнаружено много семейств периодических орбит. Здесь подробно рассматривается только одно из них, но этого вполне достаточно, чтобы показать, что понимается под семейством и под эволюцией орбит в семействе. Кроме того, это поможет лучше понять методику поиска. На рис. 5.8, а-в показаны характерные черты и эволюция орбит класса семейства копенгагенской задачи.

Это набор обратных периодических орбит вокруг одной из двух равных масс, скажем . Так как обе массы равны, то орбиты можно с одинаковым успехом считать орбитами вокруг планеты или вокруг спутника.

Эволюция начинается с малых круговых орбит вокруг Если орбиты проходят через точки положительной полуоси х на все больших расстояниях от то размер орбит возрастает, причем они эволюционируют от овала к орбите, по форме,

Рис. 5.8.

напоминающей почку. В процессе эволюции орбита по форме все более и более отклоняется от окружности, пока она не перейдет в орбиту столкновения (бесконечно малая частица сталкивается с ). Этой орбитой (которая одновременно является и орбитой выброса) заканчивается первая фаза эволюции. На рис. 5.8, б показана вторая фаза. Эволюция орбиты приводит к тому, что вокруг точки (столкновения и выброса в ) описывается петля. От орбиты к орбите петля увеличивается и искажается до тех пор, пока столкновением с не завершится вторая фаза. Затем появляется новый овал, размеры его увеличиваются, происходит новое столкновение и т. д.

Вычисление постоянной Якоби для орбит семейства показы вает, что, как и ожидалось, ее значение быстро уменьшается.

(см. скан)

Рис. 5.9.

Вначале в случае бесконечно малой орбиты вокруг постоянная Якоби бесконечно велика. При первом столкновении с она достигает значения 2,044; при столкновении ее значение равно 1,74.

На рис. 5.9 сравнивается первая фаза периодических орбит класса g копенгагенской задачи (а) с дарвиновским семейством

А орбит спутников (б). Класс g состоит из периодических орбит с прямым движением вокруг Дарвин выполнял вычисления для значения . Тела S и J (массы соответственно 10 и 1) находились на единичном расстоянии друг от друга. Поэтому возмущения со стороны S на орбиты вокруг J значительно сильнее, чем в копенгагенской задаче. Тем не менее орбиты на рис. 5.9, а, б очень похожи.

Американская и советская лунные космические программы послужили сильным стимулом к проведению численного и аналитического поиска периодических орбит в системе Земля — Луна . В результате было найдено большое число орбит, многие из которых имеют чрезвычайно сложную форму. При этом наибольший интерес вызывают те орбиты, которые близко подходят и к Земле, и к Луне.