11.3. Переходы между орбитами в силовом поле одного притягивающего центра

Если аппарат движется по орбите вокруг массивного сферического тела и на него не действуют возмущения со стороны других тел, то это означает, что аппарат движется в центральном поле сил. При этом, если полет аппарата является пассивным (двигатели выключены), то его орбита представляет собой коническое сечение, свойства которого описываются формулами гл. 4. При работающих двигателях орбита будет изменяться, причем в общем случае изменениям будут подвержены все шесть элементов орбиты. Поскольку мы имеем дело с системами, развивающими большую тягу, то можно считать, что двигатель работает такое короткое время, за которое создаваемый им импульс мгновенно изменяет вектор количества движения аппарата, а положение аппарата измениться не успевает. Положение вектора тяги двигателя относительно касательной к орбите определяет изменение величины и направления скорости аппарата. Тот факт, что изменение скорости не сопровождается заметным изменением положения, говорит об отсутствии каких бы то ни было гравитационных потерь.

В данном разделе вначале будут рассмотрены изменения орбиты, к которым приводят импульсы различных типов, а затем мы перейдем к исследованию переходов с одной орбиты на другую. При этом будут рассмотрены только простейшие случаи.

11.3.1. Переход между круговыми компланарными орбитами

Предположим, что аппарат, находящийся на круговой орбите радиуса вокруг тела массы требуется перевести на круговую орбиту большего радиуса (рис. 11.2). Удобнее всего рассматривать эту задачу как задачу изменения энергии.

Энергия аппарата равна (см. разд. 4.5 и 4.11)

где — орбитальная скорость. Энергия аппарата на большей орбите равна и определяется выражением

    (11.13)

где орбитальная скорость на большей орбите. Таким образом, имеем

Тогда минимальная энергия, необходимая для осуществления перехода, равна

    (11.14)

Если переход осуществляется по эллиптической орбите, касающейся обеих круговых орбит, как показано на рис. 11.2, тогда для такой операции требуется два импульса: первый (в точке А) переводит аппарат на эллиптическую орбиту, второй (в точке В) переводит аппарат на большую круговую орбиту. Эти импульсы прилагаются по касательной к орбите путем включения двигателя ракеты, направленного в сторону, противоположную движению.

Рис. 11.2.

Рис. 11.3.

Если импульс вызывающий изменение количества движения не совпадает с направлением скорости, а составляет с ним некоторый угол , то новый вектор скорости v определяется в результате векторного сложения и v (рис. 11.3).

Если величина импульса задана, то приращение кинетической энергии, равное , максимально при . Таким образом, если надо изменить кинетическую энергию, то использование касательного импульса является самым экономичным с точки зрения расхода топлива.

Эллипсу перехода соответствует энергия

Но для эллиптического движения откуда

откуда

Здесь — большая полуось эллипса. Поскольку

    (11.16)

то

Таким образом, для перевода аппарата на орбиту перехода нужно в точке А увеличить его энергию на величину, равную

Аналогично в точке В требуется приращение анергии

Изменения энергии обусловлены изменениями кинетической энергии, т. е.

    (11.19)

и

Здесь — необходимые приращения скорости в точках А и В соответственно. Приравнивая (11.17) и (11.19), получаем

Аналогично, приравнивая (11.18) и (11.20), получаем

Из уравнения (11.2), которое здесь можно применять, поскольку нет потерь на преодоление сопротивления атмосферы и гравитационных потерь, находим массу топлива, необходимого для выработки импульсов. Для первого импульса имеем

откуда можно найти (массу израсходованного топлива) как функцию (скорости истечения) и (массы топлива до перехода).

Для второго импульса

Отсюда найдем (масса израсходованного топлива) как функцию .

Складывая получаем полное приращение скорости при переходе с одной круговой орбиты на другую в виде

позволяющем в одно действие вычислить суммарный расход топлива.

Эксцентриситет орбиты перехода получается из соотношений

и равен

Время, за которое совершается переход, равно половине периода Т обращения тела по орбите перехода [см. (4.26)], а именно

    (11.24)

Положение и скорость аппарата на орбите перехода в любой момент времени могут быть вычислены по формулам гл. 4.