Задачи

6.1. Движение единичной массы по прямой линни описывается дифференциальным уравнением

где g и — постоянные и Показать, используя метод вариации параметров, что движение частицы приближенно задается формулой

где а и b — значення и х при

6.2. Используя выражение для возмущающей функции R вида (6.31), (6.32), получить перрое приближение решения уравнения для эксцентриситета из системы (6.30).

6.3. Гравитационный потенциал Юпитера в точке экваториальной плоскости на расстоянии от его центра равен приблизительно

где — радиус Юпитера, К — малая постоянная,

Доказать, что если другие возмущения отсутствуют, то большая ось орбиты экваториального спутника Юпитера вращается со средней скоростью, составляющей приблизительно

Здесь Т — период орбиты, а — большая полуось. (Эксцентриситет можно считать малым, так что )

6.4. Вокруг сферической звезды, масса которой вследствие излучения медленно уменьшается с постоянной скоростью, движется единственная планета пренебрежимо малой массы. Показать, что наклонение и долгота восходящего узла орбиты при этом не испытывают возмущений. Выяснить, каковы будут возмущения первого порядка для других элементов, если в данный момент эксцентриситет оскулнрующей орбиты мал.

6.5. Пусть планета движется вокруг звезды в среде с таким сопротивлением, что возмущающее ускорение D, действующее на планету, задается выражением

где k — постоянная, соответственно скорость и радиус-вектор планеты. Показать, что в этом случае определяется следующей формулой:

6.6. Две планеты с массами обращаются вокруг Солнца по орбитам с малыми наклонениями i и Если сделать преобразование

То апериодическая часть возмущающей функции R, обусловленной влиянием планеты на планету , имеет вид

Здесь D — симметричная функция Соответствующая возмущающая функция для планеты удовлетворяет условию

Кроме того, можно показать, что

Соответствующие уравнения имеют место и для Показать, что

где — постоянные.