15.8.5. Галактические орбиты звезд

Мы видели, что для Местной группы звезд можно определить центроид, а также скорость этого центроида. Звезды, в том числе Солнце, обладают скоростями, отличными от скорости центроида, т. е. их скорости имеют дисперсию относительно последней, иными словами, звезды имеют остаточные скорости (разности между скоростями движения звезд в Галактике и скоростью центроида в Галактике). Эти остаточные скорости порядка Обнаружено, что функция распределения скоростей определяется выражением вида

где — число звезд в группе с остаточными скоростями, заключенными в пределах от и до и от v до и от w до измеренными относительно осей соответственно. С — постоянная, а — стандартные отклонения, также определенные относительно указанных выше осей. Ось х направлена к центру Галактики, ось у по касательной к вращательному движению Галактики, а ось перпендикулярна плоскости Галактики. Значения составляют примерно соответственно. В противоположность этому скорость центроида Местной группы звезд

Указанное трехосное эллипсоидальное распределение скоростей Шварцшильда может быть объяснено как следствие того факта, что звезды в Местной группе, находясь временно в одном и том же элементе объема, имеют слегка различные галактические орбиты. Некоторые орбиты являются круговыми; большинство орбит эллиптические с малыми, но различными по величине эксцентриситетами и разными наклонениями к экваториальной плоскости Галактики. Линдблад [4] показал, что фактически наблюдаемые движения звезд на таких орбитах привели бы к эллипсоидальному распределению, включающему звезды, удаляющиеся от центра Галактики или движущиеся прямо к этому центру,

если наблюдать звезды из точки, соответствующей положению Солнца в Галактике.

Легко показать, что такие почти круговые орбиты с малыми наклонениями возможны для звезд, расположенных внутри звездных систем, подобных Галактике. Для большинства звезд остаточные скорости на порядок величины меньше, чем скорости вращения центроидов, так что орбиты мало отличаются от круговых компланарных орбит. Следуя Линдбладу, обозначим через цилиндрические координаты звезды X в звездной системе с вращательной симметрией, причем ось направлена вдоль оси симметрии (рис. 15.8). Предположим также, что звездная система имеет плоскость симметрии, перпендикулярную оси симметрии; направление CD, от которого отсчитываются углы, лежит в указанной плоскости, так что — это азимутальный угол, отсчитываемый от CD до проекции СН радиуса-вектора звезды очевидно также, что .

Рис. 15.8.

Уравнения движения звезды X тогда принимают вид

Здесь U — гравитационный потенциал, действующий на X и вызванный звездной системой. Далее, в силу симметрии

    (15.73)

так что условие с учетом второго уравнения (15.72) приводит к соотношению

    (15.74)

Пусть звезда движется в плоскости симметрии звездной системы, причем компоненты скорости в -направлении полностью отсутствуют. Следовательно, и в силу симметрии кроме того, . Поэтому система (15.72) принимает вид

    (15-75)

Поищем теперь решение при . Тогда из второго уравнения (15.72) мы имеем

Первое уравнение (15.75) дает

При мы имеем

    (15.76)

и при подстановке получаем

Но полученное выражение представляет собой уравнение частицы, движущейся в гравитационном поле, вызванном потенциалом U. Следовательно, возможна круговая орбита, причем звезда описывает такую орбиту с постоянной угловой скоростью определяемой соотношением

Теперь слегка возмутим круговое движение этой звезды, так что ее координаты станут равными:

где — малые переменные величины. Отметим, что , в то время как . Подставим эти новые переменные в систему (15.72) и линеаризуем получившиеся уравнения с целью получить дифференциальные уравнения для ; во многом эта процедура напоминает выполненную в гл. 5, где мы рассмотрели устойчивость лагранжевых решений для ограниченной круговой задачи трех тел.

Сначала разложим до членов второго порядка по малым величинам . Вспоминая, что

получаем

Вычисляя частные производные этого выражения по , находим

Теперь подставим величины соотношение сохраняя только члены первого порядка мы получаем

    (15,78)

Третье уравнение (15.72) дает

    (15.79)

Используя теперь первые уравнения из (15.77) и (15.76), а также первое уравнение (15.72), получаем после незначительных сокращений

Уравнения (15.78)-(15.80) образуют необходимую нам систему дифференциальных уравнений. В этих уравнениях коэффициенты при — постоянные величины. Поведение зависит от знаков при этих коэффициентах.

Когда звезда пересекает экваториальную плоскость, она движется в направлении возрастания . Составляющая силы по оси отрицательна, так что

в то время как

Следовательно, при — убывающая функция , откуда

Отсюда следует, что (15.79) представляет собой уравнение простого гармонического движения, так что его решением будет

где

— постоянные интегрирования.

В уравнении (15.80) коэффициент при можно записать в таком виде:

Далее, величина силы притяжения на расстоянии равна

Даже если вся масса сконцентрирована в галактическом центре, сила F будет уменьшаться с увеличением расстояния не быстрее чем Следовательно, выражение

будет возрастающей функцией ; отсюда ясно, что выражение

должно быть отрицательным. Поэтому (15.80) также оказывается уравнением простого гармонического движения, имеющего решение

где

— постоянные интегрирования. Наконец, подставляя это решение в уравнение (15.78), мы получаем решение для

где

Интерпретация этих результатов сводится к тому, что звезда выполняет эллиптическое движение с периодом относительно точки отсчета на круговой орбите и в то же время колеблется туда и обратно относительно галактической плоскости с периодом . Расчеты показывают, что для звезды в окрестностях Солнца значения составляют приблизительно лет соответственно. Для сравнения напомним, что период обращения вокруг галактического центра для расстояния Солнца от последнего равен — лет.