10.5. Использование теории Гамильтона—Якоби в задаче движения искусственного спутника
В разд. 6.9 было рассмотрено применение теории Гамильтона—Якоби к задаче многих тел. Было показано, что в первом приближении функция Гамильтона 
берется с потенциалом 
так что невозмущенное решение, получаемое из известного решения S уравнения Гамильтона—Якоби, приводит к обыкновенному кеплеровскому эллипсу. Возмущенный гамильтониан 
дает новые канонические уравнения, определяющие изменения со временем прежних канонических постоянных, полученных в первом приближении.
Тот же самый невозмущенный гамильтониан 
можно использовать при решении задачи о движении искусственного спутника, когда возмущенный гамильтониан 
определяется второй, третьей и т. д. гармониками, исключенными из невозмущенного решения. Однако Штерн 114] и Гарфинкель [2, 3] показали, что можно использовать и невозмущенный гамильтониан 
включающий основную часть эффектов сплюснутости и приводящий к уравнению Гамильтона—Якоби с разделяющимися переменными, которое можно разрешить.
Штерн и Гарфинкель применяли различные функции 
однако в обоих случаях возмущенный гамильтониан Ну состоял из оставшейся части второй гармоники и гармоник более высокого порядка и не содержал вековых возмущений первого порядка. Из-за отсутствия места мы сможем дать лишь краткий очерк подхода, использованного Штерном.
Штерн выбрал в качестве функции Гамильтона, для которой можно получить точное решение, следующее выражение:
(10.21)
Здесь 
определяются, как показано на рис. 10.4; 
— сопряженные с 
моменты; 
— произвольные функции Радиуса-вектора и склонения соответственно.
Можно без труда показать, что уравнение Гамильтона—Якоби с функцией (10.21) имеет разделяющиеся переменные и его решение таково:
(10.22)
где
— перигейное расстояние.
Канонические постоянные 
(на единицу массы рассматриваемой частицы) имеют соответственно смысл полной энергии, полного момента количества движения по орбите при 
и компоненты момента количества движения, направленной вдоль оси.
Тогда каноническое решение приобретает вид (см. разд. 
(10.23)
здесь 
— расстояние перигея, а канонические постоянные 
соответственно (отрицательный) момент времени прохождения перигея, выбранный за исходный; аргумент наклонения в перигее при 
и прямое восхождение выбранного восходящего узла на экваторе.
Теперь видно, что
является хорошим приближением действительного потенциала Земли, поскольку опущенные члены (
и т. д.) примерно в 
раз меньше, чем член с 
Штерн выбрал в качестве невозмущенного гамильтониана 
функцию
которая имеет такую же форму, как и уравнение (10.21).
В (10.24) постоянная i представляет собой максимальное наклонение частицы, в то время как постоянная 
) — это удвоенное произведение расстояний апогея и перигея, разделенное на их сумму. После этого возмущенный гамильтониан определяется как
и имеет следующий вид:
Он определяет канонические уравнения для прежних канонических постоянных 
Следует заметить, что 
может содержать любую гармонику, которой раньше пренебрегали, но при частном дифференцировании 
все его члены должны рассматриваться как функции канонических постоянных и времени. Исключениями являются 
введенные в уравнение (10.24) в качестве постоянных.
Следующий шаг состоит в вычислении четырех интегралов, входящих в (10.23). Эти интегралы оказываются эллиптическими интегралами; их легче всего вычислить, сначала разлагая в ряды, а затем интегрируя почленно (см. [14]).
Невозмущенное решение, полученное таким образом, при небольшой подгонке значений двух из его канонических постоянных имеет тот же порядок точности, что и общеупотребительная кеплеровская орбита с учетом возмущений первого порядка.
Фактически, когда к решению Штерна добавляются возмущения первого порядка, то оказывается, что оно во всех отношениях
конкурирует с общепринятым выражением плюс возмущения первого и второго порядков. Эта работа Штерна, а также анализ Гарфинкеля той же самой задачи, показывает преимущества теории Гамильтона—Якоби, когда она применяется к задачам подобного типа.
