6.7.2. Решение уравнений движения планет в форме Лагранжа

Уже отмечалось, что поскольку возмущающее ускорение мало по сравнению с кеплеровским ускорением, то изменения орбитальных элементов также малы на значительных интервалах времени. Поэтому в первом приближении правые части уравнений (6.30) можно считать функциями только

Имеем

где — фунцин

и

В первом приближении , где — оскулирующие значения средних движений в эпоху.

Тогда видно, что уравнения (6.30) могут быть непосредственно проинтегрированы. Это даст (периодические члены), где а — некоторый элемент, X. — постоянная, отличная от нуля для всех элементов, кроме а. Известно, что выражения для а, представляют собой разложения по косинусам, а выражения для — по синусам. Например, уравнение для

теперь записывается в виде

что после интегрирования дает

где — целые числа.

Уравнение для большой полуоси

где h — целое, дает (периодические члены).

В этом методе до сих пор не было никаких математических сложностей, хотя, очевидно, выкладки могут быть очень громоздкими. При переходе же ко второму приближению начинается действительно тяжелая рутинная работа. В первом приближении решения уравнений Лагранжа для планет возмущения, обусловленные влиянием каждой планеты, не зависят от возмущений от других планет. При получении второго приближения возмущения второго порядка, действующие на планету с массой со стороны планеты с массой включают члены с коэффициентами , если же в задаче более одной возмущающей планеты, то возмущающих членов еще больше. При наличии в системе третьей планеты с массой в возмущениях второго порядка для орбиты планеты с массой появляются члены с коэффициентами .

Ограничимся кратким описанием процедуры получения возмущений второго порядка в случае, когда есть только две планеты. Пусть элемент а представлен в виде

где и т. д. обозначают возмущения а соответственно первого порядка, второго порядка и т. д. Суть метода состоит в разложении правых частей уравнений в ряды Тейлора и объединении членов одного и того же порядка малости. Если, например, взять уравнение для

то его можно переписать в виде

Пусть - функция шести элементов орбиты планеты Р и шести элементов орбиты планеты определяемая формулой

Раскладывая в ряд Тейлора и обозначая через а, некоторый элемент, получаем

По поводу этого уравнения надо сделать следующие замечания:

1) означает, что в функции используются лишь оскулирующие значения элементов;

2) второй член указывает на то, что после получения формулы для величины и вычисления ее значения для оскулирующих элементов (на это указывают скобки индекс нуль) это значение умножается на соответствующий ряд, полученный в первом приближении для знак суммирования показывает, что в этот член входят все такие произведения;

3) третий член указывает на то, что в приближениях более высокого порядка наряду со вторыми частными производными функции в формулу входят также и перекрестные произведения рядов первого порядка.

Приравнивая члены одного и того же порядка и учитывая, что нулевой порядок соответствует задаче двух тел с постоянными элементами, получаем

Аналогичные ряды получаются и для других элементов [а также для , если воспользоваться уравнением (6.35) I. Зная значения оскулирующих элементов и решения первого порядка, полученные из уравнений (6.38), мы можем получить решения второго порядка из уравнений (6.39). В результате мы получим возмущения второго порядка. Очевидно, продолжая этот процесс, можно получать возмущения все более и более высокого порядка. В то же время очевидно, что с каждым последующим порядком многократно возрастает объем работы, которая должна быть выполнена. К счастью, на практике уже члены третьего порядка включать в рассмотрение не обязательно. Исключением являются взаимные возмущения гигантских планет, Юпитера и Сатурна.

Выражения для элементов, полученные с учетом возмущений второго порядка, должны иметь вид

где а — какой-то элемент, а — постоянные. (Если а — большая полуось, то Видно, что в формулы для всех элементов, кроме а, наряду с вековыми членами входят также и вековые ускорения; в то же время смешанные члены присутствуют в формулах для всех элементов, в том числе и для а.

Сходимости таких рядов и применению их при исследовании устойчивости Солнечной системы было посвящепо большое число работ.

Может показаться, что, хотя выражения для больших полуосей орбит планет не содержат вековых членов до второго порядка включительно, наличие вековых членов в выражениях для эксцентриситетов указывает на неустойчивость системы. Однако это не так. Даже при наличии вековых или смешанных членов мы ничего не можем сказать о сходимости или устойчивости. В этой связи Штерн показал, что функцию можно записать в виде ряда

который сходится при всех t, хотя и содержит смешанные члены, а ряд

также сходится при всех t, хотя в правой части имеются «вековые» члены.

Более того, следует помнить, что при использовании метода вариации параметров применение рядов Тейлора было оправдано предположением о малости возмущений первого порядка , и т. д., так что их квадратами, произведениями и более высокими степенями можно пренебречь. Однако наличие вековых членов означает, что полученные ряды обеспечивают достаточную точность только на определенном интервале времени и не позволяют сделать никакого заключения об устойчивости Солнечной системы. В дальнейшем мы вернемся к этому вопросу. Тем не менее метод вариации параметров общей теории возмущений является очень полезным при определении вариаций орбит планет или искусственных спутников на значительных интервалах времени.