15.6. Основные теоремы звездной динамики
Пусть U — гравитационный потенциал в точке звездного скопления, имеющей радиус-вектор 
. Тогда сила на единицу массы в этой точке имеет компоненты, определяемые уравнением 
или, переходя к прямоугольным осям,
Эти уравнения можно также записать в форме
(15.19)
где 
могут рассматриваться как координаты и компоненты скорости звезды.
Через малый интервал времени 
координаты звезды и компоненты скорости примут значения 
соответственно; тогда для координаты и соответствующей компоненты скорости мы можем написать
(15.20)
Аналогичные соотношения записываются для координат у и 
и соответствующих компонентов скорости.
Пусть звезды (числом 
), которые занимали элемент объема фазового пространства 
теперь заполняют элемент объема 
причем
и
Теперь
Используя (15.20), можно выписать якобиан J в таком виде:
В первом порядке по dt это выражение сводится к 1. Отсюда
Теперь с учетом (15.14) мы имеем
Полагая 
получаем
(15.23)
Разлагая (15.23), согласно теореме Тейлора, с точностью до членов первого порядка и сравнивая (15.22) и (15.23), находим
(15.24)
или
(15-25)
как (15.24), так и (15.25) принимают форму уравнения Больцмана. При выводе формул мы молчаливо предполагали, что эффект сближения пренебрежимо мал по сравнению с эффектом от потенциала U, создаваемым системой как целым. Это эквивалентно пренебрежению столкновениями молекул в кинетической теории газов.
Введем теперь оператор 
определяемый соотношением
здесь x, поочередно обозначает 
— производная Стокса (т. е. полная производная по времени) функции в 
-мерном фазовом пространстве. Из уравнений (15.19) и (15.24) мы видим, что
(15.26)
Теперь, поскольку число точек 
не меняется со временем, мы имеем
(15.27)
Но 
так что из уравнений (15.26) и (15.27) следует 
это представляет собой повторение соотношения (15.21)
Это — формулировка теоремы Лиувилля, с которой мы уже встречались в гл. 5. Теорема утверждает, что при движении динамической системы любой объем фазового пространства остается неизменным.
