15.7. Некоторые частные случаи для звездной системы в стационарном состоянии

Если звездная система находится в стационарном состоянии, то ни фазовая плотность ни потенциал U не зависят явно от времени. Следовательно,

Из уравнения (15.16) также следует, что при мы получаем (т. е. функция звездной плотности любой точке не зависит от времени). После этого уравнения (15.24) и (15.28) сводятся соответственно к следующим:

и

Теперь существует только пять независимых интегралов, так что

причем

Когда постоянным С придаются числовые значения, указанные интегралы определяют фазовую траекторию звезды.

Из уравнения (15.33) можно вывести интеграл энергии. Мы имеем

Складывая и интегрируя, получаем

    (15.34)

или

    (15.35)

где V — скорость.

Подавляющее большинство галактик имеют вращательную симметрию. Для таких звездных систем U оказывается функцией - ось направлена вдоль оси вращения, радиус в цилиндрических координатах. Следовательно, , откуда

или"

С учетом (15.23) имеем

так что

что дает после интегрирования

Итак, в случае звездной системы с вращательной симметрией, находящейся в стационарном состоянии, с праведливо соотношение два интеграла в скобках — это интеграл энергии и интеграл момента количества движения.

Один из наиболее важных классов звездных систем включает все те системы, у которых распределение масс сферически-симметрично (например, шаровые скопления или эллиптические галактики типа ЕО по классификации Хаббла, которые не имеют никакой видимой эллиптичности). В таком случае потенциал U оказывается функцией только расстояния от центра системы, так что

В дополнение к интегралу энергии мы имеем теперь три интеграла момента количества движения:

    (15.36)

которые являются следствием возможности подстановки выражений

в уравнение (15.33). Отсюда

    (15.37)