11.3.6. Зависимость орбиты перехода от малых ошибок положения и скорости в момент выключения двигателя

Рассмотрим теперь зависимость орбиты перехода от ошибок скорости и радиуса-вектора в момент выключения двигателя (т. е. в момент окончания отработки импульса). Такие ошибки возникают из-за того, что прилагаемый импульс немного отличается от импульса, необходимого для перевода аппарата на нужную орбиту перехода. В результате аппарат выходит на орбиту перехода с элементами , где — это величина планируемого элемента, а — ошибка, обусловленная ошибкой импульса

Рассмотрим простой компланарный пример. Пусть в момент времени (момент выключения) аппарат должен иметь долготу радиус-вектор и скорость V, составляющую угол с радиусом-вектором. В действительности импульс отрабатывается с ошибкой, так что в момент выключения долгота, радиус-вектор, величина скорости и угол равны соответственно (рис. 11.7).

Таким образом, между элементами запланированной эллиптической орбиты (момент прохождения перицентра) и w (долгота перицентра) и элементами реальной орбиты имеются расхождения

Ошибки, можно считать малыми, так что выражения для них могут быть получены частным дифференцированием соответствующих уравнений гл. 4. Для эллиптической орбиты имеем

    (11.39)

    (11.42)

Рис. 11.7.

В общих чертах определение элементов по было описано в гл. 4. Дифференцируя (11.38), получаем

Аналогично имеем

Из уравнений (11.40) и (11.47) следует соотношение

    (11.49)

Используя (11.42) и (11.43), находим

и

    (11.51)

Чтобы получить выражения для используем уравнения (11.41), (11.45). (11.46), (11.47) и (11.49). Искомые выражения имеют вид

    (11.52)

и

откуда окончательно получаем

и

    (11.55)

Чтобы показать, как могут использоваться приведенные выше соотношения для рассмотрим такой пример. Предположим, что единственной ошибкой является ошибка в величине скорости, т. е.

Тогда ошибки величин определяются по следующим формулам:

    (11.57)

Предположим еще, что импульс прикладывается в перицентре, т. е.

Тогда уравнения (11.56) и (11.58) принимают вид соответственно

Очевидно, что при стремлении эксцентриситета орбиты к единице влияние ошибки а очень сильно растет.

Рассмотрим пример, демонстрирующий характер зависимости орбиты от ошибок при больших значениях е. Для получения орбиты перехода от круговой орбиты высотой 500 км над поверхностью Земли к окрестности орбиты Луны необходимо приращение скорости, примерно равное . Такое приращение скорости нужно для того, чтобы из круговой скорости, равной получить скорость в перигее При этом после приложения соответствующего импульса ошибка скорости окажется равной Дифференцируя соотношение

можно найти ошибку апогейного расстояния конечной орбиты. Искомое выражение имеет вид

Воспользовавшись уравнениями (11.59) и (11.60), получаем

Номинальная орбита перехода в этом примере имеет эксцентриситет 0,9648 и апогейное расстояние 384 400 км. Спедовательно, ошибка всего в 30 см/с в стартовой скорости приведет к ошибке апогейного расстояния порядка 1230 км.

Если единственной отличной от нуля ошибкой является ошибка величины радиуса-вектора в точке перехода, то из того же примера видно, что ошибка апогейного расстояния выражается формулой

Ошибка по радиусу-вектору в 1 км приведет к ошибке апогейного расстояния в 3231 км.

Аналогичный анализ может быть проведен и для гиперболических орбит. Кроме того, задача исследования чувствительности орбиты к ошибкам может быть рассмотрена с учетом ошибок наклонения и долготы восходящего узла, т. е. когда ошибки векторов положения и скорости имеют компоненты по всем трем измерениям. С принципиальной стороны эта задача, хотя и более сложная, не отличается от плоского случая и здесь рассматриваться не будет.