5.3. Десять известных интегралов и их смысл

Складывая уравнения (5.2) и учитывая (5.3), получаем

Дважды интегрируя, находим

и

По определению центр масс системы имеет радиус-вектор R, причем

и

Тогда уравнения (5.4) и (5.5) преобразуются к виду

и

Соотношения (5.6) и (5.7) выражают тот факт, что центр масс системы движется с постоянной скоростью. Если выразить соотношения (5.6) и (5.7) через проекции на три инерциальные прямоугольные оси, проходящие через О, то получим шесть постоянных интегрирования

Умножая каждое уравнение (5.2) векторно на соответствующее R, и складывая результаты, находим

Кроме того, имеют место соотношения

Следовательно, правая часть (5.8) равна нулю, откуда

Интегрируя, получаем

Соотношение (5.9) выражает тот факт, что сумма моментов количества движения (кинетических моментов) тел системы постоянна. Постоянный вектор С определяет плоскость, называемую неизменяемой плоскостью Лапласа. Были предложения использовать ее в качестве основной плоскости планетной системы вместо плоскости эклиптики. Однако точность, с которой известно положение этой плоскости, хотя и высока, но недостаточна для того, чтобы оправдать такую замену. В настоящее время эта плоскость наклонена к плоскости эклиптики под углом около полутора градусов и лежит между плоскостями орбит Юпитера и Сатурна, двух самых массивных планет.

Если спроектировать (5.9) на три инерциальные прямоугольные оси, проходящие через О, то получим следующие три «интеграла площадей»:

где

Постоянные Си представляют собой еще три постоянные интегрирования в дополнение к уже полученным шести постоянным. Таким образом, суммы моментов количества движения тел относительно каждой из координатных осей постоянны.

Десятая постоянная получается, если каждое из уравнений (5.2) умножить скалярно на соответствующее и сложить все произведения. Тогда

Кроме того,

    (5.12)

Складывая (5.11) и (5.12), получаем

Таким образом, если принять во внимание (5.1), то уравнение (5.10) после интегрирования дает

Если — скорость i-го тела, то

и после введения обозначения

уравнение (5.13) принимает вид

где

Первый член в (5.13) Т — это кинетическая энергия системы, а —U — потенциальная энергия. Из соотношения (5.13) следует, что полная энергия системы тел постоянна. является десятой постоянной интегрирования. Таким образом, хотя и кинетическая энергия, и потенциальная энергия системы изменяются и между телами системы происходит непрерывный «обмен» кинетической и потенциальной энергией, полная энергия остается

постоянной. Системы с постоянной полной энергией, к которым принадлежит и данная система, называются консервативными.

Найти другие интегралы никому не удалось, а Брунс и Пуанкаре доказали, что в задаче тел кроме интеграла энергии, интегралов площадей и интегралов, определяющих движение центра масс системы, не существует других интегралов, которые выражались бы соотношениями, включающими только алгебраические и интегральные функции координат и скоростей тел, были справедливы для любых тел и удовлетворяли уравнениям движения.