10.4. Орбита спутника вокруг сплюснутой планеты

В этом разделе мы рассмотрим орбиту спутника, определяемую тяготением Земли, пренебрегая эффектом сопротивления атмосферы. В последние годы эта задача была рассмотрена многими авторами, в том числе Козаи [9], Мерсоном [11], Брауэром [1], Штерном [14], Гарфинкелем [2, 3] и Кинг-Хили [4].

В нашем изложении мы будем следовать Козаи 19]. На рис. 10.5 положение S спутника на орбите в момент t характеризуется координатами ; начало координат (с невращающимися осями) совмещено с центром масс Земли; ось ОХ направлена в точку весеннего равноденствия, ось OY смещена вдоль экватора на 90° от ОХ в направлении возрастания прямых восхождений, ось OZ направлена вдоль оси вращения Земли.

Обозначим теперь проекцию спутника S на небесную сферу через S и проведем дугу большого круга после этого получаем

Рис. 10.5.

Оскулирующая орбита определяется шестью элементами . Здесь а — большая полуось, — эксцентриситет, i — наклонение плоскости орбиты к экватору, Q — прямое восхождение восходящего узла орбиты, — аргумент перигея (дуга NA), М — средняя аномалия. Радиус-вектор и склонение связаны с элементами орбиты и истинной аномалией следующими выражениями:

    (10.12)

Тогда уравнение движения спутника запишется как

где U — потенциал Земли. Для тела, обладающего осевой симметрией, потенциал для внешней точки можно выразить следующим образом (см. разд. 6.5):

здесь — расстояние точки от центра масс тела, постоянные, R — экваториальный раднус тела, — масса тела, угол между экватором тела и радиусом-вектором точки, полиномы Лежандра по порядка n. С учетом того, что заменяя на имеем

При использовании этого выражения для потенциала тяготения Земли мы предполагаем, что полностью отсутствуют эффекты, связанные с эллиптичностью экватора, хотя мы примем во внимание эффекты, вызванные асимметрией между северным и южным полушариями Земли. Теперь возмущающий потенциал F запишется в виде

Для Земли порядка в то время как и т. д. порядка или меньше. Поскольку и т. д. не вносят ничего принципиально нового по сравнению с эффектами, вызываемыми и мы ограничимся исследованием второй и третьей гармоник. С учетом сказанного имеем

Здесь использованы выражения для полиномов Лежандра:

Используя второе соотношений (10.12), мы получаем F в виде

Истинную аномалию f легко преобразовать к средней аномалии М, которая представляет собой линейную функцию времени в невозмущенном движении, при помощи соотношения

Величины в возмущающей функции F являются функциями только и М и периодичны по М. Входящие в F члены, не зависящие ни от М, ни от , являются вековыми; члены, зависящие от , но не зависящие от М, оказываются долгопериодическими; члены, зависящие от М, — короткопериодическими.

Итак, долгопериодические возмущения возникают от членов второго порядка в F, так что в вековых и долгопериодических членах должны сохраняться члены второго порядка. С другой стороны, для короткопериодических членов необходимо принимать во внимание только члены первого порядка.

Для выделения таких членов следует принять во внимание, что короткопериодические возмущения появляются вследствие изменений М за время оборота по орбите, в то время как долгопериодические возмущения возникают в результате вековых изменений Учитывая это обстоятельство, мы возьмем среднее значение возмущающей функции F по М, чтобы получить долгопериодические возмущения; для того же, чтобы вывести вековые возмущения, мы аналогичным путем образуем среднее по М для тех частей возмущающей функции, которые не зависят ни от М, ни от .

Для выполнения указанных операций эти величины интегрируются в пределах от 0 до для произвольного члена Q указанная операция дает

Согласно Тиссерану [16], необходимые соотношения получаются в таком виде:

Интересующие нас части возмущающей функции F таковы:

    (10.13)

Здесь представляют соответственно вековую первого порядка, вековую второго порядка, долгопериодическую и короткопериодическую части возмущающей функции.