12.6. Использование решений задачи двух тел

Используя ту же самую модель системы Земля — Луна, можно получить ценную информацию о траекториях в пространстве Земля — Луна путем применения в качестве орбит конических сечений, приближенно представляющих реальные траектории. Здесь приходится прибегать к некоторым результатам исследования выполнимости, причем на этом пути, дающем нам моменты перехода, необходимую энергию и форму орбиты, требуется обеспечить высокую точность.

Вернемся снова к представлениям о внешней и внутренней сферах действия спутника относительно главного тела (планеты относительно Солнца или спутника планеты относительно планеты), введенных в разд. 6.4 и уже использованных в разд. 11.4.4.

В формулах (11.93) и (11.94) значения —0,1 для определяют достаточно умеренную величину возмущений орбиты. Если принять указанное значение, полагая (значение для системы Земля — Луна), то радиусы внутренней и внешней сфер действия относительно Луны, найденные из рис. 11.13, оказываются соответственно порядка 0,1 и 0,3 расстояния Земля — Луна.

Меньшее значение показывает, что космический корабль в пределах расстояния ~38 000 км от центра Луны может описываться как движущийся по селеноцентрической орбите задачи двух тел;

большее значение свидетельствует, что вплоть до расстояния 269 000 км от центра Земли (~42 земных радиуса) корабль движется по геоцентрической орбите задачи двух тел. Поскольку расстояние Земля — Луна составляет ~60 земных радиусов, то видно, что можно использовать формулы задачи двух тел в пределах 2/3 расстояния от Земли до Луны при исследованиях выполнимости с обеспечением удовлетворительной точности.

Однако следует заметить, что степень близости представления подобными модельными орбитами тех, которые требуются в действительности, зависит от продолжительности времени, затрачиваемого космическим кораблем на движение вблизи границ переходной области. Например, корабль, движущийся по геоцентрическому эллипсу с такими значениями большой оси и эксцентриситета, которые обеспечивают его удаление в апогее более чем на 42 земных радиуса, находился бы в силу II закона Кеплера гораздо более длительное время в пределах сферы действия Луны, чем корабль движущийся по орбите с другими значениями большой оси и эксцентриситета. Поэтому в первом случае можно ожидать гораздо более значительных изменений орбиты, чем во втором. Расчет орбиты прохождения через границу сферы действия можно выполнить по способу Энке или Коуэлла методом, описанным в разд. 11.4.4. При входе во внутреннюю сферу действия Луны возможно использование невозмущенной селеноцентрической орбиты до тех пор, пока корабль не выйдет из этой сферы действия. Итак, сказано достаточно для того, чтобы подчеркнуть, что в исследованиях выполнимости можно нередко пользоваться решением задачи двух тел в виде конических сечений для получения данных о траекториях полета Земля — Луна. Более того, рассмотрение геоцентрической орбиты двух тел уже оказывается полезным при оценках и сравнениях времен перелета и скоростей корабля на расстоянии Луны от Земли.

Чтобы придать нашим рассуждениям количественный характер, предположим, что корабль находится на круговой орбите ожидания, расположенной на высоте 560 км от земной поверхности в плоскости лунной орбиты. Тогда круговая скорость корабля на этой орбите задается выражением

где G — постоянная тяготения, М — масса Земли, — радиус Земли плюс 560 км. Если корабль переводится на эллиптическую орбиту, касательную к промежуточной орбите перехода с перигеем и апогеем , где — геоцентрическое расстояние Луны, то требуемое изменение скорости определяется как

где — скорость в перигее на новой орбите.

Теперь имеем

где — соответственно большая полуось и эксцентриситет промежуточной орбиты. Однако

так что можно рассчитать по известным значениям после этого по известным а и вычисляется .

Рис. 12.1

В этом случае время, необходимое для достижения лунной орбиты, легко определяется из периода

Подставляя соответствующие численные значения, находим так что время перелета к Луне равно 119,5 ч. Это — время полета до Луны с наименьшей затратой энергии. Чтобы уменьшить время перелета, необходимо увеличить V. Схема орбиты с указанием скорости корабля в различные моменты полета приведена на рис. 12.1.

Поскольку обратный полет к Земле является, так сказать, зеркальным отражением полета к Луне, скорости (в км/с) для упрощения рисунка размещены лишь в верхней части эллипса.

Видно, насколько быстро уменьшается скорость по мере удаления корабля от Земли (при этом кинетическая энергия преобразуется в потенциальную) и насколько эксцентричной оказывается орбита, напоминая по виду прямолинейный эллипс (см. разд. 4.8).

Попытки снизить время перелета свидетельствуют, насколько чувствительно это время к изменениям скорости в перигее. Чтобы

уменьшить время, большая полуось эллиптической орбиты должна быть увеличена, так что апогей орбиты корабля оказывается за пределами лунной орбиты. Увеличение скорости в перигее всего на 18 м/с приводит к возрастанию расстояния апогея до 70 земных радиусов и уменьшает время полета до величины немного больше 80 ч. Если продолжить этот процесс, то эллиптическая орбита превращается в параболическую при достижении скорости освобождения определяемой для рассматриваемой нами промежуточной орбиты выражением

Время полета до лунной орбиты тогда оказывается примерно 50 ч, а скорость, с которой корабль пересекает лунную орбиту, составляет около . Любое увеличение скорости в перигее сверх скорости освобождения превращает орбиту в гиперболу с дальнейшим сокращением времени перелета.

Любая орбита корабля за пределами расстояния в 2/3 расстояния Земля — Луна будет сильно возмущена, если Луна окажется вблизи пересечения орбиты корабля с- лунной орбитой, когда корабль находится именно в этой части своей траектории. В подобных случаях возвратная половина орбиты (если она эллиптическая) может полностью измениться, но общая картина описанного выше изменения времени полета в зависимости от скорости в перигее остается справедливой.

Можно сделать ряд заключений об особенностях полета космического корабля, когда он входит в сферу действия Луны. Если пренебречь отклонениями фигуры Луны от сферы, то вклад лунного притяжения симметричен относительно радиуса. Однако из-за влияния земного поля эффективное поле тяготения внутри лунной сферы действия искажается; отклонения от радиальной симметрии оказываются наибольшими на обращенной к Земле стороне Луны.

Космический корабль, входящий в сферу действия Луны, обладает некоторым гиперболическим избытком скорости, так что его невозмущенная селеноцентрическая орбита будет гиперболой. Если только скорость входа корабля не близка к нулю или если (что крайне маловероятно) возмущения от Земли не уменьшат его скорости в пределах сферы действия, корабль снова покинет эту сферу по другой ветви своей гиперболической траектории. Следовательно, в любом встречающемся на практике случае попытка перевода корабля на эллиптическую селеноцентрическую орбиту должна предусматривать импульс, уменьшающий скорость корабля до значения меньше скорости убегания, пока корабль находится достаточно глубоко внутри лунной сферы действия. Совершенно ясно, что малое время перелета, которое обеспечивается перелетом корабля в окрестности Луны с высокой селеноцентрической

скоростью, потребует большого расхода топлива для преобразования гиперболической траектории в замкнутую селеноцентрическую орбиту. На основании только одной этой аргументации мы заключаем, что если для полета к Луне оказывается доступным лишь ограниченный запас энергии (например, если цель полета — создание искусственного спутника Луны), то, возможно, лучше выбрать более длительное время перелета. Однако если цель полета — жесткая посадка на Луну, без какого-либо торможения, то может оказаться предпочтительным короткое время перелета. Не упомянутый до сих пор фактор, оказывающий влияние на выбор решения, —это изменение точности в зависимости от скорости в перигее.

При обсуждении в разд. 11.3.6 чувствительности орбит перелета к малым ошибкам в положении и скорости мы видели, что ошибка конечной скорости всего в 30 см/с, определяющей расстояние апогея орбиты полета к Луне 384 400 км, приведет к ошибке в 1230 км. Если ошибка имела место в значении радиуса-вектора в момент прекращения работы двигателей, тот же самый пример дает ошибку в расстоянии апогея 3231 км при ошибке отсечки двигателей в 1 км. Приведенные числа свидетельствуют, что «медленные» траектории полета к Луне весьма чувствительны к ошибкам, что приводит к необходимости обеспечения коррекций во время полета, а также дополнительного топлива для преобразования гиперболической орбиты подлета к Луне в орбиту захвата, если последняя необходима. Приведенные числа также указывают на необходимость исследования точности траекторий полета к Луне с учетом эффектов солнечного поля тяготения.