1.2.3. Соизмеримости в средних движениях
В Солнечной системе имеет место множество почти точных соизмеримостей в средних движениях пар тел в планетной и в спутниковых системах. Среднее движение планеты, движущейся вокруг Солнца, равно ее средней угловой скорости обращения но орбите, которая получается делением 360° на средний период обращения. Например, если 
— средние движения (в градусах в сутки) Юпитера, Сатурна, Нептуна и Плутона соответственно, то
Тогда имеем
откуда видно, насколько близки отношения этих средних движений к простым дробям. Рой и Овенден исследовали большое число таких соизмеримостей и показали, что они встречаются значительно чаще, чем этого можно было бы ожидать, считая их случайными совпадениями.
Существуют также и тройные соизмеримости. Если 
— средние движения Ио, Европы и Ганимеда (три из четырех галилеевых спутников Юпитера) соответственно, то в градусах в сутки получаем
Далее имеем
откуда следует соотношение
которое в пределах точности наблюдений является точным.
Этой замечательной соизмеримости средних движений соответствует в равной степени точная соизмеримость величин средней долготы спутников, а именно
Позднее мы увидим, что имеются достаточные основания полагать, что вопросы устойчивости непосредственно связаны с существованием таких соотношений. Однако здесь мы пока ограничимся только тем, что рассмотрим еще три примера соизмеримых средних движений.
Первый пример — это движение астероидов — многочисленных тел, обращающихся вокруг Солнца. Орбиты астероидов в основном расположены между орбитами Марса и Юпитера, но есть астероиды (имеющие обычно сильноэксцентричные орбиты), которые могут заходить внутрь орбиты Меркурия и удаляться за орбиту Юпитера. Кроме того, есть две группы астероидов (Троянцы), которые колеблются около фиксированных относительно орбиты Юпитера точек. Троянцы представляют собой примеры одного интересного решения задачи трех тел, впервые найденного Лагранжем. Этому решению соответствует конфигурация, при которой малое тело все время остается в вершине равностороннего треугольника, в остальных двух вершинах которого расположены два массивных тела, обращающихся относительно друг друга по кеплеровским орбитам. Троянцы располагаются в двух точках (массивными телами в данном случае являются Юпитер и Солнце), гелиоцентрическая долгота которых на 60° больше и на 60° меньше долготы Юпитера. Можно сказать, что движение Троянцев соответствует соизмеримости порядка единицы.
Кроме того, изучение распределения орбит тысяч других астероидов, обнаруженных к настоящему времени, показало, что есть определенные гелиоцентрические расстояния, которых астероиды избегают. Эти расстояния соответствуют таким средним движениям, которые соизмеримы со средним движением Юпитера (тела, вносящего основные возмущения в орбиты астероидов). Астероиды избегают занимать орбиты, соответствующие соизмеримостям порядка одна вторая, одна третья, две пятых и т. д. Такие промежутки в распределении астероидов называются по имени их открывателя промежутками Кирквуда. С другой стороны, вблизи орбиты, соответствующей соизмеримости порядка три четвертых, наблюдается аккумуляция астероидов. Такая орбита, по-видимому, является устойчивой по отношению к возмущениям со стороны Юпитера.
Во втором примере снова одну из основных ролей играет Юпитер, но теперь уже как тело, удерживающее свои внешние спутники в противовес возмущающему гравитационному полю Солнца.
Сейчас известно 14 спутников Юпитера. Их средние расстояния от центра планеты лежат в диапазоне от 181 000 км до 24 000 000 км. Четыре больших спутника (Ио, Европа, Ганимед и Каллисто) движутся по почти круговым компланарным орбитам. Остальные десять спутников имен не имеют и занумерованы в том порядке, в каком они открывались. V спутник Юпитера является ближайшим
к планете и имеет диаметр, равный, по-видимому, всего 160 км. VI, VII, X и XIII спутники Юпитера образуют отдельную группу. Все они движутся на расстоянии примерно 11 500 000 км от центра Юпитера по орбитам с большими эксцентриситетами и наклонениями. Их орбиты ориентированы таким образом, что вероятность столкновения спутников друг с другом очень мала. Под действием гравитационного притяжения Солнца эти орбиты испытывают заметные возмущения.
Остальные пять спутников Юпитера (VIII, IX, XI, XII и XIV) движутся по значительно более протяженным обратным орбитам и испытывают на себе значительно большие возмущения со стороны Солнца. Вычисления показали, что если бы движение по орбитам происходило в прямом направлении, то на таких расстояниях Юпитер смог бы удерживать спутники лишь очень непродолжительное время. Под действием притяжения Солнца они превратились бы в астероиды, движущиеся по собственным гелиоцентрическим орбитам. Может иметь место и обратный ход событий: астероиды могут быть захвачены Юпитером и двигаться вокруг него как спутники в течение неопределенного времени. Предполагается, что четыре внешних спутника Юпитера представляют собой захваченные астероиды, которые в будущем при благоприятных условиях могут снова уйти от Юпитера. Орбита открытого недавно XIV спутника Юпитера в настоящее время определена еще довольно плохо.
Обратим внимание на интересный и, по-видимому, важный факт: орбиты этих четырех спутников, как и некоторых спутников, упоминавшихся выше, мало различаются по размерам и сгруппированы в три орбитальные «спектральные линии». Орбиты VI, VII и X спутников Юпитера удалены от планеты на 11 600 000 км, орбита XII спутника — на 20 900 000 км, а орбиты VIII, IX и XI спутников — на 23 200 000 км. Эти расстояния приблизительно соответствуют средним движениям, в 17, 7 и 6 раз большим, чем среднее движение Юпитера вокруг Солнца (тела, вносящего основные возмущения в движение спутников). Возможно, только такие соизмеримые орбиты на указанных расстояниях являются устойчивыми по отношению к солнечным возмущениям.
В качестве последнего примера рассмотрим кольца Сатурна. Они лежат в плоскости экватора планеты. Внешнее кольцо (кольцо А) имеет внешний и внутренний радиусы соответственно 136 000 и 119 800 км. От кольца В (среднего кольца) оно отделено темным пространством, называемым щелью Кассини. Кольцо В имеет внешний и внутренний радиусы соответственно 117 100 и 90 500 км. Кольцо С (полупрозрачное, иногда называемое креповым кольцом) примыкает изнутри к кольцу В. Его внутренний радиус равен 74 600 км.
Кольца не являются ни твердыми, ни жидкими; они состоят из огромного числа мелких твердых частиц, движущихся по орбитам вокруг планеты. Орбиты этих частиц возмущаются тремя внутренними спутниками Сатурна: Мимасом, Энцеладом и Тефией. Наличие щелей в кольцах может быть объяснено именно притяжением этих спутников. Щель Кассини (между кольцами А и В) соответствует таким расстояниям от планеты, при которых средние движения гипотетических частиц были бы в два раза больше среднего движения Мимаса и в три и в четыре раза больше средних движений Энцелада и Тефии. Граница между кольцами В и С лежит на таком расстоянии, при котором среднее движение должно быть в три раза больше среднего движения Мимаса. Очевидно, мы и здесь имеем дело с ситуацией, аналогичной промежуткам Кирквуда в поясе астероидов.
