11.3.3. Изменения элементов орбиты, вызванные малым импульсом

В этом разделе обсуждается влияние малого импульса направленного под произвольным углом к орбите, на изменение величины элементов орбиты. Поскольку за время действия импульса

радиус-вектор не изменяется, то все изменения элементов определяются изменением вектора скорости по величине и по направлению, вызванным приложением импульса Качественно многие из следствий станут сразу же понятными, если вспомнить, что изменение вектора скорости v может быть разложено на компонент, нормальный к плоскости орбиты и два взаимно перпендикулярных компонента, лежащих в плоскости орбиты. Это могут быть либо компоненты вдоль радиуса-вектора и по нормали к нему либо по касательной и но нормали к орбите (см. разд. 6.7.4). Таким образом,

Очевидно, что импульс, для которого равно нулю, никак не влияет на наклонение или долготу восходящего узла, поскольку он не изменяет плоскости орбиты.

Кроме того, поскольку выражения для скорости в случае эллипса и гиперболы имеют вид соответственно

то при изменении только направления вектора скорости элемент а не изменится (так как за время импульса не изменяется).

Укажем на важное приложение формулы для эллиптической скорости. Дифференцируя и учитывая, что постоянно, получаем соотношение

показывающее, что для изменения большой полуоси эллиптической орбиты оптимальной точкой приложения импульса является перицентр, где V максимально.

Уравнения (6.41) можно преобразовать таким образом, чтобы они давали обусловленное малым импульсом I изменение Да любого элемента а эллиптической орбиты.

Поскольку

уравнения принимают вид

    (11.29)

где соответственно истинная и эксцентрическая аномалии, .

Если очень малы, то можно воспользоваться преобразованием из разд. 6.7, а именно ввести по формулам

Теперь рассмотрим некоторые следствия уравнений (11.29).

Выше уже указывалось на то, что для изменения i и Q обязательно наличие компонента импульса по нормали к плоскости орбиты. Из уравнений (11.29) видно, кроме того, что для максимального изменения i нормальный компонент должен прикладываться в точке узла , а для максимального изменения импульс следует прикладывать в средней точке между узлами (и 90°, 270°). Изменения максимальны, если , т. е. если аппарат находится в апоцентре. Нормальный компонент влияет также на , если . Если и нормальный компонент является единственным ненулевым компонентом импульса, то

Из следует , и, таким образом, изменение, обусловленное нормальным компонентом, равно

В правой части стоит изменение , вызванное смещением линии узлов (линии, от которой отсчитывается ). Таким образом, если величина измеряется от некоторой фиксированной в плоскости орбиты линии, то она, подобно и Т (период орбиты), не будет подвержена влиянию нормального компонента.

Поскольку в формулы входят тригонометрические функции , величины и знаки изменений элементов зависят от того, в какой точке орбиты прикладывается импульс. Подробный анализ зависимостей изменений элементов от величин компонентов

импульса [определяемых уравнениями (11.29)] для случая эллипса и гиперболы содержится в работе [2]. В работе [1] приведена система уравнений, соответствующая (6.41) для гиперболического случая.