4.5.2. Скорость движения по эллиптической орбите

Пусть тело в точке имеет скорость К. Эта скорость, направленная по касательной к эллипсу в точке Р, имеет радиальную компоненту и поперечную компоненту Следовательно,

Из (4.23) и (4.25) получаем

Кроме того, используя (4.25), находим

Возводя в квадрат и складывая (4.33) и (4.34), получаем

или

Воспользовавшись (4.23), уравнение (4.35) можно преобразовать к виду

Но , следовательно,

Видно, что в перигелии, где , скорость V максимальна:

а в афелии, где , минимальна:

Отсюда, в частности, следует, что .

Надо также отметить, что V является функцией только расстояния [см. (4.36)]. Перепишем (4.36) по-другому:

Но

следовательно,

Эти соотношения освещают некоторые интересные свойства эллиптического движения. Видно, что величина большой полуоси есть функция длины радиуса-вектора и квадрата скорости. Таким образом, если тело массы брошено на данном расстоянии г от другого тела массы со скоростью К, то величина большой полуоси орбиты зависит только от величины скорости и не зависит от ее направления. На рис. 4.4 все орбиты имеют один и тот же начальный радиус-вектор одинаковую по величине, но различную по направлению начальную скорость V.

Рис. 4.4.

Все орбиты имеют одинаковую большую полуось а, определяемую выражением (4.37).

Из уравнения (4.38) или (4.39) также следует, что периоды этих орбит также должны быть одинаковыми. Если бы из точки Р одновременно были брошены частицы с одинаковыми по величине, но различными по направлению скоростями, то после прохождения орбит, имеющих совершенно различную форму, эти частицы вернулись бы в точку Р в один и тот же момент времени.

Скорость на эллиптической орбите бывает удобно раскладывать на две компоненты, постоянные по величине. Одна компонента перпендикулярна радиусу-вектору и, таким образом, изменяется по направлению; другая компонента перпендикулярна большой оси и, следовательно, постоянна как по величине, так и по направлению.

Рис. 4.5.

На рис. 4.5 скорость V разложена на компоненты (направлена вдоль SP, равна РЕ) и (перпендикулярна SP, равна PD). Тогда нужные нам компоненты будут равны и .

Имеем

Воспользовавшись уравнениями (4.33) и (4.34), получим

Далее можно написать

откуда, учитывая (4.33), находим

Следует отметить, что в случае круговой орбиты и постоянная компонента представляет собой круговую скорость определяемую формулой

где а — радиус круговой орбиты.