5.10.3. Поверхности нулевой скорости
Интеграл Якоби имеет вид
или
где
и
Соотношение (5.52) представляет собой связь между квадратом скорости и координатами бесконечно малой частицы относительно
вращающихся осей. Если скорость частицы становится равной нулю, то
или
Здесь С — постоянная, определяемая по начальным условиям.
Важность уравнения (5.53) состоит в том, что при заданной величине С оно определяет границы областей, в которых может находиться частица. Это области, где 
, так как иначе 
было бы отрицательным, т. е. значение скорости было бы мнимым.
Рис. 5.4.
Уравнение (5.53), называемое уравнением поверхностей Хилла, ничего не говорит нам об орбитах частицы внутри допустимого для нее пространства; для получения такой информации надо найти другие интегралы задачи. Однако мы можем исследовать поведение поверхностей Хилла при различных С.
Если и 
и 
велики, то из уравнения (5.53) получаем уравнение окружности
Однако если С велико 
либо 
очень мало, то поверхности превращаются в отдельные овалы, окружающие точки 
Этот случай схематически изображен на рис. 5.4, а (ось 
перпендикулярна плоскости рисунка); заштрихована та часть пространства, где скорость частицы была бы мнимой (там частица находиться не может). Если в начальный момент частица находится внутри одного из овалов или вне близкого к окружности контура, окружающего
оба овала (этот контур получается при пересечении плоскости 
с цилиндром, параллельным осиг), то частица там и останется, поскольку эти три области разделены «запрещенной» областью.
При уменьшении С внутренние овалы расширяются, а внешняя поверхность (в поперечном сечении близкая к окружности) сжимается. При определенном значении С (скажем, 
) внутренние овалы касаются друг друга в точке 
(имеют общую касательную; такие точки будем называть двойными). Этот случай показан на рис. 5.4, б. Дальнейшее уменьшение С приводит к слиянию овалов и образованию поверхности, имеющей форму гантели, с узкой перемычкой, через которую частица может из окрестности одной конечной массы уйти в окрестность другой конечной массы. Однако частица все еще не может перейти во внешнюю область (рис. 5.4, в). При дальнейшем уменьшении С внутренняя и внешняя области сливаются в двойной точке 
(рис. 5.4, г), а затем, при еще меньшем С, эти области сливаются также и в точке При этом по мере расширения перемычки у точки 
частица получает возможность покинуть окрестность двух конечных масс и перейти во внешнее пространство (рис. 5.4, д). Если этот процесс продолжать, то «запрещенные» области в плоскости 
в которые частица попасть не может, будут сжиматься до тех пор, пока не стянутся в точки 
(рис. 5.4, е).
Из аналитической геометрии известно, что при наличии двойной точки частные производные функции должны обращаться в нуль. В нашем случае функция 
задается формулой
Следовательно, должно быть
Но в силу уравнений движения частицы имеем
Поскольку рассматриваемые поверхности являются поверхностями нулевой скорости (т. е. х = у = z = 0), то из (5.54), (5.55) следует 
Полученный результат можно сформулировать так: если частица находится в одной из пяти двойных точек 
то равнодействующая всех приложенных к ней сил равна нулю. Если частицу поместить в одну из этих точек, то она там и останется. Следовательно, двойные точки совпадают с ранее полученными точками Лагранжа.
На рис. 5.5 и 5.6 изображены линии пересечения поверхностей нулевой скорости (при разных значениях С) с плоскостями 
и 
. При этом значения С взяты такими же, как и на рис. 5.4.
Сделаем несколько замечаний. Во-первых, отметим, что поверхность нулевой скорости можно использовать в рассматриваемой ограниченной круговой задаче трех тел для того, чтобы указать область, в которой может двигаться частица. Например, если постоянная С такова, что частица находится в овале, построенном вокруг тела массы р., то можно сказать, что эта частица никогда не пересечет поверхность нулевой скорости, хотя и неизвестно, столкнется ли она с телом 
.
Если два тела движутся по эллипсам вокруг их общего центра масс (ограниченная эллиптическая задача трех тел), то интеграла Якоби не существует. Однако заманчиво предположить (как часто поступают), что если эксцентриситет эллиптической орбиты одного тела конечной массы относительно другого мал, то результаты, полученные для круговой задачи, можно применять к эллиптической задаче на больших интервалах времени. Можно показать [241, что это действительно так. Более того, можно сказать, что прогноз движения, полученный при помощи интеграла Якоби, справедлив на интервале времени порядка нескольких периодов обращения двух тел конечной массы.
