космический корабль; поэтому предвычисленные значения
будут немного отличаться от наблюдаемых значений
в данный момент.
Пусть для данного момента
Тогда, если имеется
наблюдений
сделанных в
моментов
можно записать
(13.72)
где индексы
«обозначают, что величины в скобках являются наблюдаемыми (или эквивалентны им) в эпохи
. При
эта система уравнений может быть разрешена относительно
если же
эта система может быть разрешена относительно
, по методу наименьших квадратов. После этого прибавление каждого значения бог к соответствующему
дает улучшенные значения элементов. Последние будут наиболее вероятными значениями элементов; при этом также оказывается возможным вычислить вероятные ошибки значений элементов.
Очевидно, величины
можно взять не только в описанной форме. Это может быть прямое восхождение а, склонение
, дальность
или любая другая наблюдаемая величина, которая может быть связана аналитической зависимостью с шестью элементами орбиты спутника и элементами орбиты Земли. Величины
в классической небесной механике находятся путем аналитического дифференцирования. Вариант этого подхода, который можно использовать при наличии доступа к ЭВМ, состоит в получении
в численной форме. Основы этого подхода излагаются ниже.
Предположим, что дифференциальные уравнения движения в гелиоцентрических прямоугольных координатах представлены в виде
(13.73)
где через t обозначено время, входящее в уравнения движения вместе с возмущениями (если последние учитываются). Выражения для функций F, G, Н известны. Тогда численное интегрирование системы (13.73) на промежутке времени от до
дает нам набор значений х, у, z для шагов по времени.
Эти значения зависят от выбранных начальных значений в момент
Последние величины выводятся из элементов предварительной орбиты обычным путем. Далее, формально можно записать
(13.74)
Хотя виды функций х, у, z неизвестны, можно путем интерполяции затабулировать значения х, у, z для любого значения t из интервала от
до
. Если теперь слегка изменить одну из величин
(Для определенности выберем
), но сохранить неизменными все пять остальных начальных значений, путем нового численного интегрирования получается новый набор величин х, у, z для интервала времени от
до
. Пусть
— два значения х, полученные для любого выбранного момента времени описанным выше путем; тогда можно написать
где
— сделанные нами изменения величины
Это можно сделать, хотя в общем случае
где
— любая из величин
причем все
равны нулю, за исключением
. Тогда
причем правая часть известна для любого момента временя между
из уже имеющейся таблицы решений. Аналогичным образом получаем
Выполним еще пять интегрирований, в каждом случае придавая одной из пяти оставшихся величин
слегка отличное значение и сохраняя все остальные величины неизменными.