13.7. Улучшение орбит

Пусть предварительная гелиоцентрическая орбита описывается элементами Тогда любая наблюдаемая (геоцентрическая) величина в момент t будет определяться как

    (13.70)

где шесть параметров , определяют элементы орбиты Земли, а — функция двенадцати элементов и времени.

Если изменены произвольным образом на малые величины то изменение окажется равным причем

В общем случае элементы предварительной орбиты не являются в точности элементами орбиты, по которой фактически движется

космический корабль; поэтому предвычисленные значения будут немного отличаться от наблюдаемых значений в данный момент.

Пусть для данного момента

Тогда, если имеется наблюдений сделанных в моментов можно записать

    (13.72)

где индексы «обозначают, что величины в скобках являются наблюдаемыми (или эквивалентны им) в эпохи . При эта система уравнений может быть разрешена относительно если же эта система может быть разрешена относительно , по методу наименьших квадратов. После этого прибавление каждого значения бог к соответствующему дает улучшенные значения элементов. Последние будут наиболее вероятными значениями элементов; при этом также оказывается возможным вычислить вероятные ошибки значений элементов.

Очевидно, величины можно взять не только в описанной форме. Это может быть прямое восхождение а, склонение , дальность или любая другая наблюдаемая величина, которая может быть связана аналитической зависимостью с шестью элементами орбиты спутника и элементами орбиты Земли. Величины в классической небесной механике находятся путем аналитического дифференцирования. Вариант этого подхода, который можно использовать при наличии доступа к ЭВМ, состоит в получении в численной форме. Основы этого подхода излагаются ниже.

Предположим, что дифференциальные уравнения движения в гелиоцентрических прямоугольных координатах представлены в виде

    (13.73)

где через t обозначено время, входящее в уравнения движения вместе с возмущениями (если последние учитываются). Выражения для функций F, G, Н известны. Тогда численное интегрирование системы (13.73) на промежутке времени от до дает нам набор значений х, у, z для шагов по времени.

Эти значения зависят от выбранных начальных значений в момент Последние величины выводятся из элементов предварительной орбиты обычным путем. Далее, формально можно записать

    (13.74)

Хотя виды функций х, у, z неизвестны, можно путем интерполяции затабулировать значения х, у, z для любого значения t из интервала от до . Если теперь слегка изменить одну из величин (Для определенности выберем ), но сохранить неизменными все пять остальных начальных значений, путем нового численного интегрирования получается новый набор величин х, у, z для интервала времени от до . Пусть — два значения х, полученные для любого выбранного момента времени описанным выше путем; тогда можно написать

где — сделанные нами изменения величины Это можно сделать, хотя в общем случае

где — любая из величин причем все равны нулю, за исключением . Тогда

причем правая часть известна для любого момента временя между из уже имеющейся таблицы решений. Аналогичным образом получаем

Выполним еще пять интегрирований, в каждом случае придавая одной из пяти оставшихся величин слегка отличное значение и сохраняя все остальные величины неизменными.

Таким путем все величины

    (13.75)

табулируются для моментов между и причем — любая из шести величин Если теперь наблюдения, сделанные в интервале между дают нам значения (обозначим их для различных моментов), то возможно написать

с аналогичными уравнениями для Однако из набора табулированных значений (13.75) нам известны все так что уравнение (13.76), определяемое наблюдаемыми величинами, можно разрешить и получить значения шести величин . Затем, прибавляя их к значениям величин находим улучшенные значения элементов предварительной орбиты.