4.5.7. Положение тела на эллиптической орбите
Как в астрономии, так и в астродинамике часто встречаются следующие две задачи: 1) определить положение и скорость тела по заданным элементам и времени; 2) определить элементы орбиты по заданным положению, скорости и времени.
Пример второй задачи: с Земли на орбиту вокруг Солнца запускается космический аппарат, причем известны его положение и скорость в момент запуска; требуется определить элементы эллиптической орбиты 
. Пример первой задачи: требуется найти положение тела спустя некоторое время после того, как оно было запущено на орбиту вокруг Солнца (элементы орбиты известны).
Ниже приводятся полученные в предыдущих разделах формулы, которые используются при решении этих задач:
Заметим, что в этих формулах 
— три элемента эллиптической орбиты. Предполагается, что 
известно. Если заданы
эти элементы и время, то положение и скорость тела на орбите могут быть найдены следующим образом:
1) из уравнения (4.74) находим 
;
2) подставляя 
в (4.70), определяем М;
3) решая уравнение Кеплера (4.69), находим Е;
4) из (4.67) получаем 
;
5) значение 
можно проверить, вычислив его независимо при помощи (4.68) и (4.66);
6) из уравнения (4.72) вычисляем V;
7) из (4.75) вычисляем 
В другой задаче, когда предполагается, что заданы величины 
последовательность действий следующая:
1) из уравнения (4.72) вычисляем а;
2) из (4.75) вычисляем е;
3) из (4.67) получаем Е;
4) для вычисления 
используем выражение (4.66);
5) проверяем 
вычислив его независимо при помощи уравнения (4.68);
6) находим М из уравнения (4.69);
7) находим 
из (4.70).
