4.8. Прямолинейная орбита
Предположим, что длина большой оси эллиптической орбиты остается постоянной, а эксцентриситет стремится к единице. Тогда эллипс становится все более и более сплюснутым, а расстояние перигелия от фокуса 
стремится к нулю. В пределе эллипс вырождается в отрезок прямой, соединяющий два фокуса. Такая орбита называется прямолинейным эллипсом. Аналогичными предельными переходами получаются прямолинейные парабола и гипербола, представляющие собой прямые, проведенные из фокуса вдоль оси симметрии в бесконечность. При движении по прямолинейному эллипсу скорость максимальна в одном из фокусов и равна нулю в другом фокусе. В случае прямолинейной параболы скорость максимальна в фокусе и равна нулю на бесконечности. При движении по прямолинейной гиперболе скорость максимальна в фокусе, а на бесконечности имеет некоторую конечную величину.
Такие орбиты могут показаться абстрактными и не имеющими практического значения, однако это отнюдь не так. Например, для многих эллиптических и гиперболических орбит комет величина 
настолько близка к единице, что характер движения кометы по орбите весьма близок к поведению тела на прямолинейном эллипсе или на прямолинейной гиперболе. Во многих задачах астродинамики тела могут вести себя так, как если бы они двигались по прямолинейным гиперболам.
Если движение происходит по прямой линии (т. е. если 
, то справедливы следующие соотношения задачи двух тел, связывающие время, положение и скорость тела:
1) прямолинейный эллипс
(4.106)
2) прямолинейная парабола
(4.107)
3) прямолинейная гипербола
(4.108)
Уравнения (4.107) можно легко вывести из (4.78) при условии 
Херрик [4] при помощи слегка модифицированных уравнений (4.106), (4.107) и (4.108) составил таблицы, из которых, зная время, можно находить путем прямой интерполяции положение и скорость тела, не прибегая к разложениям в ряды или методам последовательных приближений. Эти таблицы могут применяться также в случае почти прямолинейного движения, часто встречающегося в астродинамике. Способ применения таблиц в этом случае можно пояснить, если рассмотреть эллиптическую орбиту с 
, близким к единице. Уравнение Кеплера представим в виде
(4.109)
При 
величина 
мала и отличие (4.109) от «прямолинейного» уравнения 
по существу такое же, как отличие уравнения Кеплера от «кругового» уравнения 
, когда 
близко нулю. Таким образом, уравнение (4.109) может быть решено методом последовательных приближений (см. разд. 4.5.5). Исходное значение Е для решения уравнения 
берется из таблиц Херрика. Если это значение обозначить 
а истинное значение обозначить Е, так что 
то уравнение (4.109) примет вид
Раскладывая в ряд и отбрасывая члены более высокого порядка малости, получаем
Если нужно получить более точное значение Е, процесс можно продолжить. Аналогичными процедурами можно воспользоваться в случаях почти прямолинейной параболы или гиперболы. Подробное описание быстрых и эффективных методов решения можно найти в [4].
