15.4. Накапливающийся эффект малых сближений

Рассмотрим теперь накапливающийся эффект многих таких слабых (далеких) сближений на пути, который проходит звезда. Поскольку сближение далекое, 0 мало, и мы можем положить . Тогда из (15.5) и (15.6) мы имеем

где, как и раньше,

Отсюда следует интересный результат: если звезда проходит через звездное скопление, то эффект от звезд скопления может оказаться аддитивным. Следовательно, если V и — средняя относительная скорость и расстояние сближения звезды относительно звезд скопления соответственно, то совокупный эффект

сближения с облаком оказывается -кратным эффектом от единичной звезды скопления, имеющей среднюю массу; здесь N — число звезд в скоплении. Облака межзвездной пыли, масса которых может достигать масс Солнца, также могут действовать как возмущающие объекты.

Если же рассматривать накапливающийся эффект от звезд, не входящих в скопления, то его влияние на звезду можно найти с помощью следующей аргументации, развитой Джинсом. За единицу времени число сближений, приводящих к отклонениям, превышающим , согласно (15.7) определяется как

    (15.10)

Но в силу (15.5)

    (15.11)

так что число сближений за единицу времени с учетом (15.10) и (15.11) будет

Если продифференцировать это выражение, что получится число сближений за единицу времени, приводящих к отклонениям, заключенным между и оно равно

И снова, раз мало, можно положить это дает Согласно теории ошибок, поскольку малые отклонения являются случайными величинами, они должны складываться в соответствии с законом ошибок. Следовательно, полное вероятное отклонение определяется как

Пусть — отклонения, за время t заключенные между двумя пределами Интегрируя, мы получаем

или

    (15.12)

Верхний предел p можно взять равным Значение нижнего предела а определяется путем учета того обстоятельства, что выражение (15.12) точно лишь в том случае, если отклонения являются независимыми величинами. Но если минимальное

значение 0 очень мало, то соответствующее расстояние теснейшего сближения должно быть большим. Если же это действительно так, то вполне вероятно, что в пределах этого расстояния окажутся несколько звезд; вызываемые ими небольшие отклонения будут стремиться уничтожать друг друга.

Поэтому следует выбрать нижний предел таким, чтобы он соответствовал расстоянию, сравнимому со средним расстоянием между соседними звездами. Вот почему за это расстояние можно выбрать величину

Поскольку очень мало, уравнение (15.5) принимает вид

Отсюда можем написать

Подставляя сюда разумные значения звезд на 1 куб. парсек и принимая, что звезды в среднем имеют солнечную массу, находим

и

    (15.13)

Если эти малые отклонения в конце концов вызывают результирующее отклонение за время Т, равное , то значение Т можно получить из (15.13), полагая , что дает

Подставляя значения а получаем минимальное значение для Т; отсюда лет.

Таким образом, эффекты звездных сближений пренебрежимо малы для подавляющего большинства звезд, движущихся по орбитам, существенно не возмущенным ближайшими соседними звездами.