6.8. Уравнения Лагранжа

Большое распространение получила введенная Лагранжем специальная форма уравнений движения, с которой связано понятие обобщенных координат. Рассмотрим систему частиц с координатами . Пусть эти координаты могут быть выражены в виде функций от обобщенных координат времени , т. е.

Для имеет место соотношение

Два аналогичных соотношения справедливы и для координат .

Тогда для какого-либо q (скажем, ) получаем

Кроме того, имеют место уравнения движения частиц

где U — силовая функция или взятая с обратным знаком потенциальная энергия (см. разд. 5.4).

Если Т — кинетическая энергия всей системы, то

Подставляя в (6.46) соотношения вида (6.44), преобразуем Т в функцию применяя преобразование (6.43) к функции , получаем функцию . Тогда можно записать

или, воспользовавшись (6.45),

Дифференцируя (6.47) и учитывая (6.45), получаем

Выражения в правой части, заключенные в первые и вторые скобки, представляют собой соответственно Таким образом, имеем

Но U не зависит от . Поэтому, вводя функцию можно написать

Мы получили стандартную форму уравнений Лагранжа. Функция L, часто называемая кинетическим потенциалом или лагранжианом, является функцией

Величина представляет собой обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате . Если L не зависит явно от , то называется циклической координатой и из уравнения (6.49) видно, что Очевидно также, что если L не зависит явно от t, то уравнения Лагранжа допускают интеграл энергии. В этом случае

откуда

При этом — однородная квадратичная форма a U не зависит от . Поэтому по теореме Эйлера

следовательно, С — полная энергия системы.

В качестве иллюстрации рассмотрим планету, движущуюся по невозмущенной гелиоцентрической орбите. В прямоугольной эклиптической системе планета имеет координаты . Предположим, мы хотим получить уравнения движения планеты в форме Лагранжа, используя обобщенные координаты , где — радиус-вектор планеты, Р — эклиптическая широта, а — эклиптическая долгота. Тогда справедливы соотношения

Определяя отсюда , найдем, что выражение для кинетической энергии имеет вид

Кроме того,

где , т. е. в этом случае U является функцией только .

Тогда уравнения движения получаются из (6.49) при

Для первой координаты имеем

или

Для второй координаты

и для третьей координаты

Уравнение для к можно сразу проинтегрировать и получить

Кроме того, поскольку L не зависит явно от времени, то , или, иначе,

Интегралы (6.52) и (6.53) являются соответственно интегралами кинетического момента и энергии.