3.4. Прецессия и нутация

До сих пор предполагалось, что плоскости эклиптики и экватора фиксированы относительно звезд, т. е. прямые восхождения и склонения звезд, измеряемые относительно экватора и точки весеннего равноденствия (одной из двух точек пересечения экватора и эклиптики), являются постоянными. Однако благодаря гравитационному притяжению, действующему со стороны Солнца и Луны на несферическую Землю, ось вращения Земли прецессирует, так что северный полюс мира Р описывает вокруг полюса эклиптики к малый круг радиуса с периодом около 26 000 лет. Эклиптика остается фиксированной, а направление в точку весеннего равноденствия поворачивается в плоскости эклиптики в обратном направлении (т. е. в направлении возрастания эклиптической долготы звезд) со скоростью приблизительно 50 в год. Это движение называется лунно-солнечной прецессией. Как показано на рис. 3.2, лунно-солнечная прецессия не

приводит к изменению эклиптической широты звезды (дуга ВХ), но изменяет ее эклиптическую долготу ТВ, которая в год увеличивается на . Характер изменения прямого восхождения ТА и склонения АХ будет зависеть от текущих значений координат звезды. Легко показать [1], что если 0 — лунно-солнечная прецессия за год, то координаты звезды за это время изменятся и станут равными , где

Заметим, что эти формулы получены в предположении малости изменений координат.

Еще один эффект, обусловленный влиянием Солнца и Луны, называется нутацией. Это сложные колебания полюса Р около положения, которое он занимал бы, если бы имела место только прецессия. Нутацию можно представить в виде ряда, членами которого являются периодические функции элементов орбит Солнца и Луны (относительно Земли), причем их периоды малы по сравнению с периодом лунно-солнечной прецессии. Кроме того, вследствие нутации испытывает колебания около своего среднего значения и величина наклонения эклиптики к экватору.

Рис. 3.2.

В результате воздействия планет на орбиту Земли происходит медленное изменение ориентации эклиптики. Эта так называемая планетная прецессия уменьшает прямое восхождение всех звезд примерно на 0,13 в год.

Теперь можно определить общую прецессию. Это комбинация лунно-солнечной прецессии и планетной прецессии. Общая прецессия приводит к изменениям положений эклиптики, экватора и точки весеннего равноденствия. Если взять их положения, скажем, в начале 1950 г. (1950,0), то они могут служить фиксированными плоскостями отсчета. Из-за наличия общей прецессии эклиптика, экватор и точка весеннего равноденствия к началу 1951 г. изменятся, а их новые положения будут называться средней эклиптикой, средним экватором и средней точкой весеннего равноденствия для эпохи 1951,0.

Значения общей прецессии в долготе и наклоне эклиптики в эпоху t лет после 1900 г. определяются по формулам

и

Среднее положение звезды — это ее координаты, измеряемые на гелиоцентрической небесной сфере от среднего экватора и точки весеннего равноденствия в некоторый момент времени. При этом не принимается во внимание нутация, аберрация, звездный параллакс и собственное движение звезды. Последние три величины будут определены позднее.

Обобщим теперь уравнения (3.4) и (3.5), включив в них планетную прецессию, которая уменьшает прямое восхождение на величину в год и не влияет на склонение.

Для изменений прямого восхождения и склонения за один год, вызванных общей прецессией, получаем следующие формулы:

Вводя обозначения

записываем эти соотношения в виде

Величины медленно меняются со временем. Имеем

    (3.8)

При интервалах времени, больших 5 лет, уравнения (3.6) и (3.7) уже неадекватны и надо вводить величину, называемую годичной вариацией. Если за единицу времени взять год, а скорость изменения а вследствие прецессии обозначить то из уравнения (3.6) получим

Скорость изменения прямого восхождения за столетие определяется как вековая вариация s прямого восхождения. Тогда, пренебрегая изменениями самого s, получаем

где индекс обозначает, что величина вычисляется в более раннюю эпоху, а как и раньше, выражено в годах.

Итак, имеем

Аналогично

где s — вековая вариация склонения, имеющая вид

В главных звездных каталогах наряду с вековыми вариациями приводятся величины, называемые годичными вариациями прямого восхождения и склонения. Эти величины представляют собой сумму годичных прецессий и собственного движения звезды (см. разд. 3.6).

Истинное положение звезды в некоторый момент времени задается ее гелиоцентрическими прямым восхождением и склонением, отсчитываемыми от истинного экватора и точки весеннего равноденствия в этот момент времени. Принимая во внимание нутацию, можно по среднему положению, вычисленному для данного момента времени, получить истинное положение для этого момента. Мы видели, что нутация изменяет долготу звезды и наклон эклиптики. Величины этих изменений (в интересующий нас момент времени) могут быть найдены. Изменение Д, обусловленное наличием , определяется по формуле

Аналогичное выражение имеет место для изменения склонения, которое также является следствием нутации.

Однако за время (напомним, что за единицу времени берется год), прошедшее от начала текущего года до данного момента, прецессия приводит к изменению прямого восхождения, равному Используя уравнение (3.6), можно написать

Складывая и учитывая, что

получаем

Если теперь выразить в секундах времени, в секундах дуги и ввести величины А, В, Е, а и b, определяемые следующим образом:

то получим формулу

в которой правая часть выражена в секундах времени. Аналогично можно найти, что

Здесь , а выражено в секундах дуги.

Величины А, В, Е не являются функциями положения звезды. Их значения на каждый день года приводятся в таблицах под заголовком «Бесселевы суточные числа». Величины а, b, а, b могут быть вычислены для каждой рассматриваемой звезды.

Таким образом, процедура получения истинного положения звезды на данную эпоху (какой-то день определенного года) по ее среднему положению в каталоге на эпоху 1950,0 состоит в следующем

1) вычисляем средние координаты на начало данного года;

2) по средним координатам находим истинные координаты в интересующий нас момент времени.

После этого остается еще одна, последняя, коррекция: перенос начала координат из центра Солнца в центр Земли. В результате мы получаем видимое место звезды в данный момент времени — положение на геоцентрической небесной сфере относительно истинного равноденствия и экватора в этот момент. Несовпадение видимого и истинного положения обусловлено аберрацией и годичным звездным параллаксом (см. разд. 3.5 и 3.7).

Забегая вперед, укажем, что для всех звезд, кроме нескольких ближайших, параллаксом можно пренебречь, а поправка, обусловленная аберрацией, имеет вид

    (3.16)

где С и D — затабулированы в ежегодниках, а с, d, с’ и d’ — функции положений звезд.

Теперь видимое геоцентрическое положение звезды в момент наблюдения известно и выражено через прямое восхождение и

склонение, отнесенные к истинным экватору и равноденствию в этот момент.

При измерении положений ярких звезд применяется обратная процедура. Вводя поправку за рефракцию, находим видимое геоцентрическое положение звезды. Уравнения (3.14), (3.15), (3.16) и (3.17) дают средние координаты, отнесенные к средним экватору и равноденствию, соответствующим началу того года, когда проводились наблюдения. При помощи уравнений (3.8)-(3.13) можно получить средние координаты звезды относительно экватора и равноденствия в эпоху составления звездного каталога. В результате сравнения этих координат с координатами, приведенными в каталоге, можно получить информацию о собственном движении звезды (см. разд. 3.6).

Для измерения положений более слабых звезд применяется фотографирование. На любой фотопластинке обычно имеются изображения звезд, координаты которых уже известны и содержатся в каталоге. Их можно использовать в качестве опорных и определять относительно них положения слабых звезд.

На практике для измерений используются фотоизмерительные машины различных типов, причем измерения производятся на негативах, поскольку изготовление позитивов неизбежно приводит к размытию изображения. В процессе измерений определяются координаты х и у изображения относительно системы прямоугольных осей Ох и Оу.

Теоретически эти оси выбираются так, что:

1) начало отсчета лежит на оптической оси телескопа, что соответствует заданным прямому восхождению и склонению, отнесенным к средним экватору и равноденствию, например, в эпоху 1950, 0;

2) ось у — это проекция большого круга, проходящего через северный полюс мира эпохи 1950,0 и точку, в которую направлен телескоп;

3) ось х проводится под прямым углом к оси у.

Ошибки, возникающие на практике, обусловлены неточной ориентацией, ошибочным масштабом, неперпендикулярностью осей, плохой центровкой и наклоном плоскости фотопластинки к плоскости, перпендикулярной оптической оси. Кроме того, сюда вносят вклад рефракция и аберрация. Таким образом, надо различать два набора координат: измеряемые координаты изображения звезды х, у и стандартные координаты свободные от перечисленных выше ошибок, которые и должны быть найдены. К счастью, эти координаты связаны между собой следующими простыми соотношениями:

В специальных случаях [1) в эти соотношения входят также члены второго порядка по х и у. Величины а, b, с, d, и называются постоянными пластинки и в каждом случае должны вычисляться.

Пусть на пластинке имеются изображения звезд, стандартные координаты которых уже известны, так как эти звезды содержатся в каталоге. Если по фотопластинке определить их измеряемые координаты то постоянные фотопластинки можно найти из системы уравнений

методом наименьших квадратов или каким-нибудь аналогичным методом.

Затем, воспользовавшись уравнениями (3.18) и (3.19), можно определить искомые стандартные координаты звезды . Теперь их можно преобразовать в экваториальные координаты а и б (при этом должно учитываться положение наблюдателя относительно точки весеннего равноденствия и экватора). Точка весеннего равноденствия и экватор как раз и определяют ту систему координат, относительно которой задаются положения звезд.

Используемые при этом формулы имеют вид

Здесь А и D — прямое восхождение и склонение теоретического центра фотопластинки.

Если мы имеем дело с объектом внутри Солнечной системы, то звезду надо заменить на соответствующий объект (планету, спутник, космический аппарат), но при этом принципы, изложенные в этом разделе, изменятся только в деталях. Следует заметить, что если используемый инструмент дает высоту и азимут объекта, то полученные по ним прямое восхождение и склонение (с учетом поправок на рефракцию) являются величинами, отсчитываемыми от истинных экватора и равноденствия в момент наблюдения.