Главная > Движение по орбитам
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 5. Задача n тел

5.1. Введение

Впервые задача n тел в точной постановке была сформулирована Ньютоном. Под телами он подразумевал материальные точки, и задача ставилась следующим образом. В некоторый момент времени заданы положения и скорости трех или более материальных точек, движущихся под действием сил взаимного притяжения. Массы тел известны. Вычислить их положения и скорости в любой момент времени.

Задача становится более сложной, если (как, например, при исследовании движения системы Земля—Луна—Солнце) надо учитывать форму и внутреннее строение тел. Задача и материальных точек вдохновляла и приводила в уныние многих знаменитых астрономов и математиков трех последних столетий. Возможно, этот факт не для всех очевиден, но уже при задача оказывается значительно более сложной, чем задача двух тел. Представим себе, что на каждое тело действует сложное изменяющееся со временем гравитационное поле двух других тел, способное приводить к тесным сближениям, в результате которых тела будут переходить на совершенно другие орбиты. Очевидно, общее решение такой задачи, описывающее все возможные последствия таких сближений, выражалось бы формулой невообразимой сложности.

При рассмотрении задачи тел можно сформулировать несколько полезных утверждений, имеющих общий характер и представляющих собой десять интегралов движения. Эти интегралы были известны уже Эйлеру, но с тех пор других подобных соотношений не обнаружено. Кроме того, Лагранжем были найдены некоторые частные решения задачи трех тел, представляющие интерес как для астрономии, так и для астродинамики. Эти решения реализуются, если начальные условия удовлетворяют определенным соотношениям.

С тех пор исследователи смогли продвинуться только в изучении специальных задач, в которых можно было использовать те или нные приближения. Например, в ограниченной круговой задаче трех тел два массивных тела движутся по невозмущенным круговым орбитам вокруг своего общего центра масс и притягивают третье тело, масса которого настолько мала, что оно практически

не возмущает круговые орбиты первых двух тел. В такой постановке можно сделать определенные выводы об орбите тела бесконечно малой массы и установить для него существование семейств периодических орбит. Многие эпохальные исследования Пуанкаре были посвящены этой задаче. Особый интерес в связи с этим представляет система Земля—Луна—космический аппарат, которую можно приближенно рассматривать как пример системы трех тел такого типа.

Известно, что планеты движутся вокруг Солнца по почти эллиптическим орбитам, так как взаимное притяжение планет во много раз меньше, чем притяжение Солнца. Это приближение, сводящее задачу движения планет к задаче двух тел, служило основой для построения многих теорий движения планет. У кеплеровской (опорной) орбиты элементы постоянны; если теперь предположить, что вследствие взаимного гравитационного притяжения планет они изменяются, то для этих изменяющихся элементов можно составить дифференциальные уравнения. Выражения для элементов, получающиеся в результате решения уравнений (представляющие собой в общем случае длинные суммы синусоидальных, косинусоидальных и вековых членов), можно использовать для построения более точного приближения. Этот метод трудоемок, но на практике он быстро сходится, и более трех приближений приходится делать очень редко. Полученные таким образом аналитические выражения, справедливые на заданном интервале времени, называются общими возмущениями. Они позволяют нам сделать некоторые заключения о прошлом и будущем планетной системы, однако следует подчеркнуть, что указанным методом нельзя получить результаты, справедливые на любом, сколь угодно большом интервале времени. Метод общих возмущений применяется также к спутниковым системам, к орбитам астероидов, возмущаемым Юпитером, и к орбитам искусственных спутников. Этот метод является мощным инструментом астродинамики, поскольку в аналитических выражениях находят свое отражение различные возмущающие силы (например, влияние на спутник сплюснутости Земли).

Другой подход к решению задачи тел связан с использованием специальных возмущений. Поскольку при этом производится пошаговое численное интегрирование дифференциальных уравнений движения от начальной эпохи до эпохи, в которую нам нужно знать положения тел, то до тех пор, пока не были созданы быстродействующие вычислительные машины, многие ученые — небесные механики избегали пользоваться таким методом. Однако метод специальных возмущений обладает большим преимуществом, которое состоит в том, что его можно применять к любым орбитам и к системам, состоящим из любого числа тел. В наши дни внимание ученых направлено на применение специальных возмущений

для решения всех типов астродинамических задач главным образом потому, что многие из них принадлежат к областям, в которых теории общих возмущений пока не созданы. Одним из таких случаев является задача облета Луны: точный расчет орбиты космического аппарата в поле системы Земля—Луна может быть выполнен только при помощи специальных возмущений. Большой недостаток метода состоит в том, что он редко приводит к каким-то общим формулам; кроме того, при таком подходе приходится рассчитывать промежуточные положения тел, а цель работы часто состоит в определении их конечной конфигурации.

Возмущения можно разделить на два различных класса: периодические и вековые. Любое возмущение опорной Орбиты, повторяющееся с заданным периодом, называется периодическим и обычно является следствием периодического повторения одной и той же конфигурации тел системы. Поскольку точное повторение конфигурации маловероятно, то такое периодическое возмущение (короткопериодическое) часто связывается с циклическими вариациями много большего периода и при этом говорят о долгопериодическом возмущении.

Вековое возмущение вызывает изменение, пропорциональное времени, например смещение (в направлении движения) перигелия или регрессию восходящего узла орбиты планеты. Во многих случаях бывает трудно отличить долгопериодические возмущения с очень большим периодом от вековых возмущений, поскольку время, в течение которого проводятся наблюдения, меньше предполагаемого периода.

Наконец, мы должны заметить, что, говоря о задаче тел, надо различать задачу нескольких тел и задачу многих тел. При рассмотрении Солнечной системы имеем мы дело с задачей нескольких тел, когда орбиты должны вычисляться точно. В этом случае тел слишком мало, чтобы можно было воспользоваться статистическим или гидродинамическим подходом. При рассмотрении звездных систем мы сталкиваемся с задачей многих тел, и это позволяет нам применять указанные методы. Однако описание этих методов мы приведем лишь в последней главе.

1
Оглавление
email@scask.ru