Глава 5. Задача n тел
5.1. Введение
Впервые задача n тел в точной постановке была сформулирована Ньютоном. Под телами он подразумевал материальные точки, и задача ставилась следующим образом. В некоторый момент времени заданы положения и скорости трех или более материальных точек, движущихся под действием сил взаимного притяжения. Массы тел известны. Вычислить их положения и скорости в любой момент времени.
Задача становится более сложной, если (как, например, при исследовании движения системы Земля—Луна—Солнце) надо учитывать форму и внутреннее строение тел. Задача и материальных точек вдохновляла и приводила в уныние многих знаменитых астрономов и математиков трех последних столетий. Возможно, этот факт не для всех очевиден, но уже при 
задача оказывается значительно более сложной, чем задача двух тел. Представим себе, что на каждое тело действует сложное изменяющееся со временем гравитационное поле двух других тел, способное приводить к тесным сближениям, в результате которых тела будут переходить на совершенно другие орбиты. Очевидно, общее решение такой задачи, описывающее все возможные последствия таких сближений, выражалось бы формулой невообразимой сложности.
При рассмотрении задачи 
тел можно сформулировать несколько полезных утверждений, имеющих общий характер и представляющих собой десять интегралов движения. Эти интегралы были известны уже Эйлеру, но с тех пор других подобных соотношений не обнаружено. Кроме того, Лагранжем были найдены некоторые частные решения задачи трех тел, представляющие интерес как для астрономии, так и для астродинамики. Эти решения реализуются, если начальные условия удовлетворяют определенным соотношениям.
С тех пор исследователи смогли продвинуться только в изучении специальных задач, в которых можно было использовать те или нные приближения. Например, в ограниченной круговой задаче трех тел два массивных тела движутся по невозмущенным круговым орбитам вокруг своего общего центра масс и притягивают третье тело, масса которого настолько мала, что оно практически
не возмущает круговые орбиты первых двух тел. В такой постановке можно сделать определенные выводы об орбите тела бесконечно малой массы и установить для него существование семейств периодических орбит. Многие эпохальные исследования Пуанкаре были посвящены этой задаче. Особый интерес в связи с этим представляет система Земля—Луна—космический аппарат, которую можно приближенно рассматривать как пример системы трех тел такого типа.
Известно, что планеты движутся вокруг Солнца по почти эллиптическим орбитам, так как взаимное притяжение планет во много раз меньше, чем притяжение Солнца. Это приближение, сводящее задачу движения планет к задаче двух тел, служило основой для построения многих теорий движения планет. У кеплеровской (опорной) орбиты элементы постоянны; если теперь предположить, что вследствие взаимного гравитационного притяжения планет они изменяются, то для этих изменяющихся элементов можно составить дифференциальные уравнения. Выражения для элементов, получающиеся в результате решения уравнений (представляющие собой в общем случае длинные суммы синусоидальных, косинусоидальных и вековых членов), можно использовать для построения более точного приближения. Этот метод трудоемок, но на практике он быстро сходится, и более трех приближений приходится делать очень редко. Полученные таким образом аналитические выражения, справедливые на заданном интервале времени, называются общими возмущениями. Они позволяют нам сделать некоторые заключения о прошлом и будущем планетной системы, однако следует подчеркнуть, что указанным методом нельзя получить результаты, справедливые на любом, сколь угодно большом интервале времени. Метод общих возмущений применяется также к спутниковым системам, к орбитам астероидов, возмущаемым Юпитером, и к орбитам искусственных спутников. Этот метод является мощным инструментом астродинамики, поскольку в аналитических выражениях находят свое отражение различные возмущающие силы (например, влияние на спутник сплюснутости Земли).
Другой подход к решению задачи 
тел связан с использованием специальных возмущений. Поскольку при этом производится пошаговое численное интегрирование дифференциальных уравнений движения от начальной эпохи до эпохи, в которую нам нужно знать положения тел, то до тех пор, пока не были созданы быстродействующие вычислительные машины, многие ученые — небесные механики избегали пользоваться таким методом. Однако метод специальных возмущений обладает большим преимуществом, которое состоит в том, что его можно применять к любым орбитам и к системам, состоящим из любого числа тел. В наши дни внимание ученых направлено на применение специальных возмущений
для решения всех типов астродинамических задач главным образом потому, что многие из них принадлежат к областям, в которых теории общих возмущений пока не созданы. Одним из таких случаев является задача облета Луны: точный расчет орбиты космического аппарата в поле системы Земля—Луна может быть выполнен только при помощи специальных возмущений. Большой недостаток метода состоит в том, что он редко приводит к каким-то общим формулам; кроме того, при таком подходе приходится рассчитывать промежуточные положения тел, а цель работы часто состоит в определении их конечной конфигурации.
Возмущения можно разделить на два различных класса: периодические и вековые. Любое возмущение опорной Орбиты, повторяющееся с заданным периодом, называется периодическим и обычно является следствием периодического повторения одной и той же конфигурации тел системы. Поскольку точное повторение конфигурации маловероятно, то такое периодическое возмущение (короткопериодическое) часто связывается с циклическими вариациями много большего периода и при этом говорят о долгопериодическом возмущении.
Вековое возмущение вызывает изменение, пропорциональное времени, например смещение (в направлении движения) перигелия или регрессию восходящего узла орбиты планеты. Во многих случаях бывает трудно отличить долгопериодические возмущения с очень большим периодом от вековых возмущений, поскольку время, в течение которого проводятся наблюдения, меньше предполагаемого периода.
Наконец, мы должны заметить, что, говоря о задаче 
тел, надо различать задачу нескольких тел и задачу многих тел. При рассмотрении Солнечной системы имеем мы дело с задачей нескольких тел, когда орбиты должны вычисляться точно. В этом случае тел слишком мало, чтобы можно было воспользоваться статистическим или гидродинамическим подходом. При рассмотрении звездных систем мы сталкиваемся с задачей многих тел, и это позволяет нам применять указанные методы. Однако описание этих методов мы приведем лишь в последней главе.
