5.10.8. Устойчивость периодических орбит

На основании эмпирических соображений сложилось мнение, что орбиты более сложной формы обладают меньшей устойчивостью, чем простые орбиты. Однако, прежде чем сделать обоснованное заключение, следует поближе ознакомиться с понятием устойчивости.

В начале этой главы был рассмотрен вопрос об устойчивости пяти точек Лагранжа в ограниченной задаче трех тел. Что будет с частицей, находящейся в точке Лагранжа, если ее координаты и скорости получат малые приращения? Будет ли она колебаться около точки Лагранжа или быстро уйдет от нее? Точку Лагранжа в этих случаях называют соответственно устойчивой или неустойчивой. Для того чтобы ответить на вопрос, устойчиво или неустойчиво решение Лагранжа, мы линеаризовывали уравнения в вариациях, решали их и анализировали корни характеристического детерминанта.

Понятие устойчивости можно ввести также и для периодических орбит. По традиции это делается с использованием характеристических показателей Пуанкаре. Для строгого определения и исследования устойчивости периодических орбит необходимо проинтегрировать уравнения в вариациях. Вначале рассмотрим понятие поверхности сечения.