10.4.1. Короткопериодические возмущения первого порядка

Дифференциальные уравнения используемых элементов таковы:

Величина n определяется уравнением

    (10.15)

Система уравнений (10.14) представляет собой вариант лагранжевых уравнений для планет (6.29), где средняя аномалия М заменяет переменную х при помощи соотношения

Для вывода короткопериодических возмущений первого порядка возмущающая функция в (10.14) заменяется на . С точностью до указанного порядка величины в правых

частях полученных уравнений могут быть приняты постоянными, исключая последнее уравнение, где появляется в первом члене без множителя; в этом случае должно считаться переменным даже при рассмотрении с точностью до первого порядка.

В качестве независимой переменной вместо t вводится при помощи соотношения

Выбирая в качестве примера наклонение i, получаем

причем индекс обозначает короткопериодическое возмущение.

При подстановке выражения для обнаруживается, что подынтегральное выражение представляется в виде конечных тригонометрических рядов, которые можно проинтегрировать. В результате получаются следующие формулы для шести элементов:

где

Теперь среднее значение по М уже не обращается в нуль. В самом деле,

Средине значения рассмотренных выше возмущений не равны нулю, за исключением возмущения а. Можно показать, что фактически средние значения по М выражаются следующим образом:

Здесь определяется соотношением (10.16) при Короткопериодические возмущения, средние значения которых по средней аномалии равны нулю, находятся как и т. д.