15.8.3. Масса Галактики

Обозначим через F силу на единицу массы, порождаемую гравитационным полем Галактики, действующим на расстоянии R, соответствующем расстоянию Солнца от центра Галактики. Если,

как и раньше, V — круговая скорость, то приравнивание значений центростремительной и центробежных сил дает . Тогда

Используя (15.47), получаем

и

Чтобы продвинуться дальше, нам придется принять какую-либо гипотезу о распределении масс внутри Галактики.

Оорт предположил, что гравитационное поле в основном определяется сферической центральной массой и сфероидальным однородным распределением массы имеющими общий центр. Солнце должно лежать вне пределов центральной сферической массы, но внутри тяготеющего сфероида. Указанная модель, хотя она и является грубой, должна иметь некоторое сходство с реальной Галактикой, так что полученные на основе этой модели результаты должны по крайней мере давать правильные порядки величины.

Теперь силу F, действующую на единицу массы, можно представить в виде

где определяются действием центральной массы и сфероида соответственно. Далее, притяжение центральной массы обратно пропорционально квадрату расстояния от ее центра, т. е.

    (15.54)

где С — постоянная. В точке внутри сфероида, как мы видели в гл. 6, сила притяжения меняется прямо пропорционально расстоянию от центра, так что

    (15.55)

где Е — постоянная. Следовательно,

    (15.56)

Заметим, что это выражение справедливо лишь в ограниченной области значений R. В самом деле, оно ведет к явно абсурдным значениям F при или при Но мы уже приняли,

что Солнце находится вне пределов центральной массы, но внутри сфероидального распределения массы, что ограничивает возможные значения

Дифференцируя (15.56) по R, получаем

Подстановка этого выражения в (15.52) и (15.53) дает

и

Исключение из этих выражений дает нам

Используя значения А и В из (15.51), мы находим, что следовательно, мы видим, что притяжение центральной массы преобладает.

Чтобы получить фактические значения масс и заметим сначала, что сила притяжения на единицу массы, вызванная центральной массой равна

Сила действует на точку внутри однородного сфероида, удаленную на расстояние R от его центра. Пусть масса сфероида равна его однородная плотность , а полуоси а, b и с соответственно.

При наличии вращательной симметрии . Пусть Тогда компоненты (X, Y, Z) силы на единицу массы в точке с координатами х, у, z внутри сфероида определяются следующим образом:

где

    (15-58)

и

Положим, что ось х проходит через Солнце. Тогда Следовательно,

Далее,

    (15.59)

а также

В нашей Галактике поэтому, пренебрегая членами и более высокого порядка, мы можем написать

    (15.60)

Из (15.59) и (15.60) получаем

Масса определяется выражением так что

так что

откуда

    (15.61)

Здесь а — экваториальный радиус Галактики (порядка ). Следовательно, так что Вспоминая, что имеем

откуда

С учетом (15.52) получаем

Принимая во внимание (15.62) и подставляя в (15.64), имеем

что

    (15.65)

Подставляя теперь значение из (15.65) в (15.62) и заменяя F на находим

откуда

Все значения величин в правых частях (15.65), (15.66) и (15.67) известны: в единицах СГС. Отсюда находим солнечных масс, солнечных масс, что дает масс Солнца. Недавние исследования с учетом более сложных моделей Галактики не изменили по порядку величины приведенные выше значения.