4.11. Орбита в пространстве
До сих пор в этой главе ориентация орбиты в пространстве не рассматривалась. В разд. 2.6 были введены три величины, определяющие ориентацию. Это долгота восходящего узла
, долгота перигелия
(если речь идет об орбите вокруг Солнца) и наклонение 1.
Поскольку в астродинамике вычисления производятся в основном в прямоугольных координатах х, у, z, необходимо знать их связь с элементами орбиты и начальными значениями положения и скорости на орбите.
Рис. 4.10.
Пусть космический аппарат V движется по орбите вокруг Солнца S, и пусть его радиус-вектор SV и истинная аномалия
в момент времени t имеют значения
(рис. 4.10). Если в плоскости орбиты провести ось
вдоль большой оси в направлении перигелия и ось
перпендикулярно большой оси, то V относительно введенных осей будет иметь следующие координаты:
Пусть прямоугольные оси
выбраны так, что ось
направлена в точку весеннего равноденствия Т, ось
проведена в плоскости эклиптики под углом 90° к оси
, а ось
направлена в северный полюс эклиптики. Тогда на основании (2.4), (2.5) и (2.6) для координат
получаем
Значение радиуса-вектора в данный момент времени можно получить из соотношения
где
— постоянные величины для данной орбиты, а истинная аномалия вычисляется по схеме, описанной в предыдущих разделах этой главы.
С другой стороны, если
— направляющие косинусы осей и
относительно осей
то
(4.112)
откуда
(4.113)
Из треугольников
имеем
Из треугольников DTN, DBN и DKN следует
Следовательно, координаты
и компоненты скорости
можно вычислить по известным элементам и времени. Например, в случае эллиптического движения
откуда нетрудно получить
Рассмотрим теперь обратную задачу, а именно задачу определения элементов орбиты по известным положению и скорости в данный момент времени.
Пусть в момент времени t тело имеет координаты
и компоненты скорости
. Тогда
(4.116)
Если i, j и k — единичные векторы вдоль осей ST, SB и SK, то
и
Компоненты вектора h имеют вид
и являются постоянными компонентами кинетического момента тела (на единицу массы). Тогда из соотношения
(4.118)
можно получить
, поскольку И известно.
Тип орбиты, как конического сечения, можно определить на основании (4.111), если предварительно вычислить постоянную С из уравнения энергии (4.110):
После выяснения типа конического сечения можно воспользоваться соответствующим набором формул.
Если орбита эллиптическая, то из соотношения
получаем а. Кроме того,
откуда находим
. Проектируя h на оси
получаем
(4.119)
откуда
и
Таким образом, уравнения (4.119), (4.120) и (4.121) определяют
, причем верхний или нижний знак в уравнениях (4.120) и (4.121) выбирается в зависимости от того, меньше или больше t, чем 90° (т. е. положительно или отрицательно
).
Из уравнений (2.4), (2.5) и (2.6) следуют соотношения
однозначно определяющие величину
Если
то величина
определяется из соотношений
Из уравнения
можно выразить
и, таким образом, определить со.
Остается еще найти момент прохождения перигелия т. В случае эллиптической орбиты, воспользовавшись соотношением
или
находим эксцентрическую аномалию Е, а затем из соотношения
получаем
, так как величины
не известны.
В случае гиперболического движения делается то же самое, но используются уравнения (4.100) и (4.101) или (4.105). Если орбита параболическая, то используется уравнение (4.82).