4.11. Орбита в пространстве

До сих пор в этой главе ориентация орбиты в пространстве не рассматривалась. В разд. 2.6 были введены три величины, определяющие ориентацию. Это долгота восходящего узла , долгота перигелия (если речь идет об орбите вокруг Солнца) и наклонение 1.

Поскольку в астродинамике вычисления производятся в основном в прямоугольных координатах х, у, z, необходимо знать их связь с элементами орбиты и начальными значениями положения и скорости на орбите.

Рис. 4.10.

Пусть космический аппарат V движется по орбите вокруг Солнца S, и пусть его радиус-вектор SV и истинная аномалия в момент времени t имеют значения (рис. 4.10). Если в плоскости орбиты провести ось вдоль большой оси в направлении перигелия и ось перпендикулярно большой оси, то V относительно введенных осей будет иметь следующие координаты:

Пусть прямоугольные оси выбраны так, что ось направлена в точку весеннего равноденствия Т, ось проведена в плоскости эклиптики под углом 90° к оси , а ось направлена в северный полюс эклиптики. Тогда на основании (2.4), (2.5) и (2.6) для координат получаем

Значение радиуса-вектора в данный момент времени можно получить из соотношения

где — постоянные величины для данной орбиты, а истинная аномалия вычисляется по схеме, описанной в предыдущих разделах этой главы.

С другой стороны, если — направляющие косинусы осей и относительно осей то

    (4.112)

откуда

    (4.113)

Из треугольников имеем

Из треугольников DTN, DBN и DKN следует

Следовательно, координаты и компоненты скорости можно вычислить по известным элементам и времени. Например, в случае эллиптического движения

откуда нетрудно получить

Рассмотрим теперь обратную задачу, а именно задачу определения элементов орбиты по известным положению и скорости в данный момент времени.

Пусть в момент времени t тело имеет координаты и компоненты скорости . Тогда

    (4.116)

Если i, j и k — единичные векторы вдоль осей ST, SB и SK, то

и

Компоненты вектора h имеют вид

и являются постоянными компонентами кинетического момента тела (на единицу массы). Тогда из соотношения

    (4.118)

можно получить , поскольку И известно.

Тип орбиты, как конического сечения, можно определить на основании (4.111), если предварительно вычислить постоянную С из уравнения энергии (4.110):

После выяснения типа конического сечения можно воспользоваться соответствующим набором формул.

Если орбита эллиптическая, то из соотношения

получаем а. Кроме того,

откуда находим . Проектируя h на оси получаем

    (4.119)

откуда

и

Таким образом, уравнения (4.119), (4.120) и (4.121) определяют , причем верхний или нижний знак в уравнениях (4.120) и (4.121) выбирается в зависимости от того, меньше или больше t, чем 90° (т. е. положительно или отрицательно ).

Из уравнений (2.4), (2.5) и (2.6) следуют соотношения

однозначно определяющие величину

Если то величина определяется из соотношений

Из уравнения

можно выразить и, таким образом, определить со.

Остается еще найти момент прохождения перигелия т. В случае эллиптической орбиты, воспользовавшись соотношением

или

находим эксцентрическую аномалию Е, а затем из соотношения

получаем , так как величины не известны.

В случае гиперболического движения делается то же самое, но используются уравнения (4.100) и (4.101) или (4.105). Если орбита параболическая, то используется уравнение (4.82).