8.6. Почти соизмеримые орбиты спутников

В системе спутников Сатурна есть три пары спутников, средние движения которых близки к соизмеримым. Близость отношений средних движений к простым дробям приводит к тому, что движение таких спутников является устойчивым резонансным; долгота линии соединения для каждой пары спутников колеблется около значения, соответствующего некоторому выделенному направлению.

1) Средние движения Титана (самого массивного спутника Сатурна) и Гипериона относятся друг к другу примерно как 4 : 3. При этом линия соединения спутников колеблется с амплитудой 36 относительно направления в апоцентр орбиты Гипериона.

Пусть — соответственно долгота Гипериона, Титана и перицентра орбиты Гипериона. Тогда величину 0, называемую критическим аргументом, можно ввести следующим образом:

Заметим, что

где — средние движения Гипериона, Титана и линии апсид орбиты Гипериона. Критический аргумент 0 колеблется,

как уже указывалось выше, с амплитудой 36°. Величина о составляет приблизительно —20,3° в год. Движение системы Сатурн— Титан—Гиперион фактически очень близко периодическому решению Пуанкаре второго сорта для ограниченной задачи трех тел.

2) Отношение средних движений Энцелада и Дионы близко к 2 : 1; линия соединения колеблется около перицентра орбиты Энцелада с амплитудой . В этом случае

Здесь величины со штрихами относятся к Энцеладу, а без штрихов — к Дионе. Движение системы Сатурн—Энцелад—Диона снова напоминает периодическое решение Пуанкаре второго сорта.

3) Отношение средних движений Мимаса и Тефии также близко к но в этом случае линия соединения спутников колеблется около точки, лежащей посредине между восходящими узлами орбит спутников на экваториальной плоскости Сатурна. Амплитуда колебаний составляет 48,5. Критический аргумент 0 для системы Сатурн—Мимас—Тефия имеет вид

где — долгота восходящего узла, а величины со штрихами и без штрихов относятся соответственно к Мимасу и Тефии. Движение такой системы напоминает периодическое решение Пуанкаре третьего сорта для ограниченной задачи трех тел.

Все три системы являются устойчивыми, поскольку каждая пара спутников при движении очень часто проходит через конфигурации, близкие к зеркальным (см. разд. 5.6), что обеспечивает быструю компенсацию больших возмущений.

В последние годы большое внимание уделяется вопросу о происхождении таких резонансных систем. Голдрайх [14] показал, что существует механизм воздействия планеты через посредство приливных сил на величины больших полуосей пары спутников. Оказывается, если даже средние движения спутников вначале несоизмеримы, то со временем они не только становятся соизмеримыми, но и впоследствии, когда обе орбиты продолжают эволюционировать, условие соизмеримости уже не нарушается. Голдрайх был первым, кто указал на наличие такого механизма. Он показал, что если два спутника , движутся по орбитам с большими полуосями , то при некоторых предположениях под действием приливных сил будет двигаться по раскручивающейся спирали быстрее, чем . По достижении почти соизмеримости с такого типа, который встречается в природе, передает момент количества движения причем перекачка момента происходит с такой скоростью, чтобы достигнутая почти-соизмеримость сохранялась.

Возможно, именно так возникли резонансы Мимас—Тефия и Диона—Энцелад. Коломбо и Франклин [10] утверждают, что если даже причиной резонанса Титан—Гипериоп и не был приливный механизм Голдрайха, то этот резонанс мог возникнуть естественным образом. Другими словами, возможно, что Титан и Гипериоп с самого начала находились в резонансе, а поскольку он устойчив, то условие резонанса продолжает выполняться до сих пор.

В заключение этого раздела рассмотрим галилеевы спутннки Юпитера: Ио (I), Европу (II), Ганимед (III) и Каллисто (IV). В обычных обозначениях (средние движения выражаются в градусах в сутки) имеем

Тогда

Заметим также, что в пределах точности наблюдений Переходя к средним долготам, для первых трех спутников получаем

Очевидно, эти соотношения устойчивы; четыре спутника наблюдались в течение более 350 лет, что соответствует приблизительно оборотов этих тел, т. е. времени порядка лет для внутренних планет Солнечной системы. Однако анализировать движение этих спутников довольно сложно. Согласно Голдраиху и Гриффину, пары спутников Юпитера I—II, II—III и III—IV представляют собой конфигурации двух тел, в которых существуют устойчивые соизмеримости по эксцентриситетам и положениям линии апсид (при этом все четыре орбиты по существу компланарны). Лаплас показал, что устойчивы также соотношения, включающие средние движения и долготы I, II и III спутников Юпитера.

Седьмое резонансное соотношение в Солнечной системе (между Плутоном и Нептуном), по-видимому, также должно быть устойчивым. Оно будет обсуждаться позднее.