6.7.1. Модификация средней долготы в эпоху
Более серьезные трудности при использовании уравнений движения планет в форме Лагранжа (6.30) возникают в следующем случае.
Известно, что разложение возмущающей функции R в ряд с периодическими членами имеет вид
(6.31)
При этом коэффициенты 
зависят от элементов орбит 
обеих планет, а аргументы зависят от элементов 
, так что
и
Здесь 
— целые числа.
В частности, поскольку 
являются функциями а и 
соответственно и, следовательно, 
явно входят в коэффициенты и неявно в аргументы.
Теперь в уравнении Лагранжа для 
появляется частная производная 
Она встречается в члене, имеющем вид
где в скобках подразумевается та часть 
которая обусловлена явной зависимостью коэффициентов 
от а. Тогда имеем
Обычно вариации элементов малы на значительном интервале времени. Поэтому для решения системы уравнений (6.30) можно воспользоваться одним из методов последовательных приближений. Первое приближение решения (после того, как частные производные
R определены) находится путем интегрирования полученных в результате уравнений. При этом элементы в правых частях считаются постоянными. Из уравнений (6.31) и (6.32) видно, что выражение
в первом приближении решения дифференциального уравнения для 
дает ряд, в который время входит как множитель в коэффициентах при периодических членах.
Чтобы избавиться от этих нежелательных смешанных членов, поступают следующим образом.
Из уравнений (6.31) и (6.32) следует
Кроме того, воспользовавшись первым уравнением (6.30), получаем
и уравнение (6.33) принимает вид
Уравнение для 
можно переписать следующим образом:
Пусть 
удовлетворяет соотношению
Тогда
Если последнее уравнение проинтегрировать, то в него уже не будут входить нежелательные смешанные члены.
Имеем
так что
Вводя 
по формуле
получаем 
. Из уравнения (6.34) следует, что 
и
откуда
Уравнением (6.30) можно воспользоваться и в том виде, как оно есть, если сделать следующие замечания:
1) теперь уже 
будет означать так что
2) при вычислении частной производной 
надо считать, что среднее движение 
не зависит от а;
3) к системе (6.30) надо добавить уравнения (6.35) и (6.36).
Такой подход оказывается проще способа, в котором исключается возможность появления смешанных членов. Он применяется также в теории движения искусственных спутников.
