6.9. Канонические уравнения Гамильтона

Во многих руководствах по небесной механике большие разделы посвящены каноническим уравнениям Гамильтона, методу Гамильтона—Якоби и теории контактных преобразований . Детальное изучение этих вопросов выходит за пределы нашей книги, однако, принимая во внимание важную роль, которую они играют в динамике, здесь будет приведен очень краткий перечень основных сведений. Более полное изложение читатель может найти в книгах Смарта, Штерна или Пламмера, указанных в списке рекомендуемой литературы в конце главы.

Если определить переменные при помощи соотношений

то переменная будет представлять собой обобщенный импульс, соответствующий . В силу уравнений Лагранжа

Введем функцию следующим образом:

    (6.56)

Тогда можно показать, что

Эти дифференциальные уравнения первого порядка (всего их ) являются каноническими уравнениями Гамильтона. Функция Н называется гамильтонианом.

Видно, что если лангранжиан L не зависит явно от времени, то то же самое справедливо и для Н. Воспользовавшись уравнениями Гамильтона, получаем

т. е. Полученное соотношение представляет собой интеграл энергии.

После того как динамическая система описана каноническими уравнениями Гамильтона, возникает проблема решения этих уравнений. В задаче двух тел канонические уравнения Гамильтона могут быть решены аналитически. В большинстве других задач, встречающихся в небесной механике и астродинамике, решить уравнения аналитически не удается. Однако, используя методы общей теории возмущений, можно строить решения в виде рядов. Найденные таким образом решения будут справедливы на некотором отрезке времени. При построении полного решения методом последовательных приближений можно, проводя соответствующие преобразования, на каждом этапе получать дифференциальные уравнения, являющиеся по форме по-прежнему каноническими и имеющие в качестве переменных так называемые постоянные интегрирования, полученные в предыдущем приближении. Описанная процедура может повторяться столько раз, сколько потребуется.

Можно доказать, что для того, чтобы найти решение канонических уравнений (6.57), надо построить функцию S, являющуюся одним из полных решений уравнения

называемого уравнением Гамильтона—Якоби. Гамильтониан задачи представлен в нем в виде функции q, t и величин , где

Функция S находится из уравнения Гамильтона—Якоби. При этом она оказывается зависящей от постоянных и t. Тогда решения канонических уравнений Гамильтона получаются из уравнений

где — независимые постоянные. Появляющиеся в процессе решения постоянных являются каноническими постоянными интегрирования.

Теперь предположим, что уравнения (6.57) таким методом решить невозможно, но что решение может быть получено, если в канонических уравнениях Н заменить на Тогда можно показать, что решение этих измененных канонических уравнений описанным выше методом приведет к каноническим постоянным . В следующем приближении они будут играть роль канонических переменных, для которых дифференциальные уравнения имеют вид

где

Затем в качестве гамильтониана можно взять и, решив уравнения (6.60), получить новые канонические постоянные.

Уравнения возмущенного движения планеты имеют вид (см. разд. 6.3)

Расписанные покомпонентно:

они представляют собой уравнения движения в форме Лагранжа, если в качестве лагранжиана взять

Заметим, что, поскольку V является функцией зависящих от времени координат возмущающих тел, ее нельзя считать потенциальной энергией. Тогда

а уравнения

и аналогичные уравнения для компонент являются каноническими уравнениями Гамильтона.

Для задачи двух тел можно получить точное решение. Поэтому на первом этапе решаются уравнения

где

Шесть канонических уравнений дают канонические постоянные которые затем считаются переменными, удовлетворяющими каноническим уравнениям

где

В заключение этого раздела для иллюстрации метода Гамильтона—Якоби применим его к задаче двух тел (невозмущенной). Как и в предыдущем разделе, в качестве обобщенных координат возьмем . Тогда

Как и раньше, можно написать

Используя (6.54), получаем

так что в силу (6.55) находим

Уравнение Гамильтона—Якоби (6.58) принимает вид

Поскольку теперь не зависит явно от t, то

Тогда в силу (6.62)

Из вида полученного уравнения следует, что переменные разделяются. Отметим сначала, что не зависит от К, т. е.

откуда

Следовательно,

Тогда уравнение (6.63) можно записать в виде

или

являются функциями независимых переменных, поэтому Можно положить

откуда

где

и

Постоянная равна меньшему из двух корней уравнения

имеющего по предположению два действительных положительных корня.

Таким образом, полное решение в силу (6.59) и (6.64) имеет вид

и

При интегрировании правых частей (6.65) (с использованием свойств кеплеровского движения) канонические постоянные выражаются через хорошо знакомые элементы эллиптической орбиты следующим образом: