6.6. Потенциал шара во внутренней точке

В гл. 15 нам понадобится выражение для потенциала массивного шара в его внутренней точке.

Рассмотрим сначала притяжение в точке О со стороны шарового слоя плотности р, ограниченного двумя концентрическими сферами (рис. 6.5). Пусть конус с вершиной в О вырезает в нем два элемента АВВА и DEED. Если угол при вершине конуса мал, то масса элемента АВВА равна а сила притяжения, действующая со стороны этого элемента на единичную массу в точке О, равна Аналогично сила притяжения, действующая на единичную массу в точке О со стороны элемента DEED, равна . Но поскольку при пересечении любой хорды (например, ABODE) с концентрическими сферами от нее отсекаются равные отрезки. Следовательно, рассматриваемые силы притяжения равны и противоположно направлены. Поскольку для каждого направления можно построить соответствующие конусы с вершиной в О, то видно, что суммарная сила притяжения, действующая на единичную массу в точке О со стороны шарового слоя, равна нулю. Точка О

внутри шарового слоя была взята произвольным образом. Поэтому притяжение со стороны слоя в любой точке внутри него везде равно нулю. Отсюда следует, что потенциал во всех внутренних точках должен быть постоянным и равным потенциалу в центре сферы С. По определению, если есть масса слоя, а a - его радиус, то потенциал равен

Рис. 6.5.

Сплошной шар можно представить состоящим из концентрических шаровых слоев. Возьмем точку О на расстоянии от центра. Удалим из шара тонкий слой толщины и среднего радиуса , так что О будет теперь лежать внутри образовавшейся щели (рис. 6.6). Со стороны шаровых слоев, внешних по отношению к щели, на точку О силы не действуют, а притяжение со стороны внутренних слоев будет таким, как если бы вся их масса была сосредоточена в центре сферы С. Следовательно, если вещество имеет плотность , то сила притяжения в О определяется выражением

Рис. 6.6.

Мы видим, что сила притяжения однородного сплошного шара, в его внутренней точке прямо пропорциональна расстоянию этой точки от центра.

Чтобы получить гравитационный потенциал в точке О, вспомним, что потенциал шара с радиусом и плотностью на внешнюю точку на расстоянии от центра равен

Пусть s — радиус шарового слоя с толщиной причем . Тогда масса этого слоя равна и потенциал,

создаваемый им в точке О, равен (потенциал, создаваемый шаровым слоем во внутренней точке). Интегрируя, получим суммарный потенциал, создаваемый всеми такими слоями:

Складывая (6.18) и (6.19) и переходя к пределу при получим для потенциала, создаваемого однородным шаром с радиусом а во внутренней точке на расстоянии от центра, выражение

Заметим, что сила притяжения со стороны однородного слоя, ограниченного двумя подобными эллипсоидами, во внутренней точке также равна нулю.