7.4. Метод Энке

В методе Энке используется тот факт, что в первом приближении орбита является коническим сечением. В результате интегрирования мы получаем отклонения действительных координат тела от координат на коническом сечении. Кеплерова орбита является оскулирующей, и в эпоху оскуляции эти отклонения равны нулю. С течением времени отклонения растут до тех пор, пока не станут настолько большими, что приходится переходить к новой оскулирующей орбите. Этот процесс называется спрямлением орбиты. Основное преимущество метода Энке состоит в том, что в нем интервал интегрирования больше, чем это возможно в методе Коуэлла, поскольку вблизи эпохи оскуляции отклонения малы и могут быть выражены небольшим числом

значащих цифр. С другой стороны, в метоле Энке каждый шаг интегрирования значительно более трудоемок, чем в методе Коуэлла.

Энке предложил прием, который значительно повысил практическую ценность его метода. Он состоит в следующем. Будем индексом с обозначать радиус-вектор, получаемый из уравнений движения задачи двух тел, т. е.

Для реального движения имеем

где F обусловлено притяжением других тел, сопротивлением атмосферы и т. д.

Пусть обозначает разность . Тогда

Оскулирующая орбита в некоторую эпоху определяется уже известным нам решением уравнения (7.1). Поэтому для любого последующего момента времени можно вычислить прямоугольные координаты

Поскольку реальная орбита и коническое сечение отличаются незначительно, то величина

представляет собой разность двух почти равных векторов, что приводит к увеличению необходимого числа значащих цифр. Чтобы избежать этого, Энке, положил

и

Значения функции от малой величины q приводятся в таблицах (Planetary Coordinates, 1960—1980). Тогда имеем

где

и

Здесь вектор p выражается в виде

где i, j и k — единичные векторы, направленные вдоль осей соответственно. Тогда уравнение (7.2) принимает вид

или

где

Другой прием, позволяющий обойтись без разложения f, состоит в следующем. Рассмотрим выражение

Имеем

и, таким образом,

или окончательно

Тогда уравнение (7.2) принимает вид

где

Метод Энке широко применяется не только в работах, посвященных орбитам комет, но также и при расчете орбит в зоне вблизи системы Земля—Луна. При этом Луна играет роль возмущающего

тела. Он также применяется при вычислении орбит, которые из-за слабого отклонения начальных условий мало отличаются от некоторой стандартной орбиты. Такая ситуация возникает, например, при исследовании чувствительности орбит к ошибкам.

В последнее время предпринимались попытки усовершенствовать метод Энке путем использования лучшей опорной орбиты. Кайнер и Беннет [17] показали, что при интегрировании уравнений движения низкого спутника Земли метод Энке можно значительно улучшить, если при построении опорной траектории учесть эффект первого порядка от сжатия Земли. Такое улучшение опорной орбиты не только значительно увеличивает интервал времени между спрямлениями орбиты, но и приводит к существенному повышению точности интегрирования по сравнению с классическими методами Энке и Коуэлла.

Штумпф и Вейс [30] показали, что время, необходимое для интегрирования уравнений движения четырех или более тел модифицированным методом Энке, при котором в качестве опорной орбиты используется комбинация нескольких кеплеровских орбит, может составлять одну десятую времени, требуемого для решения задачи классическим методом Энке.

Таким образом, основная идея метода Энке состоит в том, чтобы подобрать такую опорную орбиту, которая в течение длительного времени была бы близка реальной эволюционирующей орбите. Для отклонения параметров реальной орбиты от соответствующих величин на опорной траектории составляется система дифференциальных уравнений, которая затем интегрируется численными методами. Следует заметить, что эти величины (параметры) совсем не обязательно должны быть постоянными. Если выбор опорной орбиты удачен, то шаг интегрирования можно взять много большим, чем при интегрировании исходных дифференциальных уравнений, соответствующих реальной орбите. При этом мы получаем выигрыш даже с учетом того, что на каждом шаге приходится выполнять дополнительные вычисления. Следует также заметить, что аналитические выражения для вычисления координат положения и скорости на опорной орбите вовсе не обязательны.