8.7.3. Движение перигелия Плутона: ротационное или либрационное?
В работе Хори и Джакалия [17] был сделан вывод, что перигелий Плутона должен испытывать ротационное движение с периодом 30 млн. лет. Однако Уильямс и Бенсон [32] полагали, что результаты Коэна и др. указывают на движение либрационпого типа. Поэтому они предприняли интегрирование орбиты Плутона на интервале 4 500 000 лет. В отличие от Коэна и др., которые одновременно интегрировали прямоугольные координаты пяти внешних планет, Уильямс и Бенсон численно интегрировали уравнения только для Плутона. Орбиты остальных четырех планет считались полностью известными и не подверженными влиянию Плутона. Интегрирование выполнялось в предположении, что Плутон является материальной точкой. Вековые вариации элементов Нептуна, Урана, Сатурна и Юпитера моделировались в соответствии с расчетами Брауэра и Ван Веркома [5 ]. К тому же Уильямс и Бенсон в процессе исследования не интегрировали планетные уравнения в их обычном виде, поскольку в этом случае шаг интегрирования из-за присутствия короткопериодических членов следовало бы выбирать достаточно малым. Чтобы исключить эти члены, указанные авторы воспользовались методом Гаусса отделения вековых членов. В данном случае возмущающая функция усредняется по средним аномалиям возмущенного и возмущающего тел 
. При этом остальные элементы считаются
постоянными. В результате такой процедуры R; заменяется величиной
Для интегрирования упрощенной модели применялся метод Рунге—Кутта четвертого порядка, причем шаг интегрирования был взят равным 500 лет. Чтобы проинтегрировать систему на интервале от 2,1 млн. лет до н. э. до 2,4 млн. лет н. э., машине IBM/360/91 потребовалось около одной минуты.
Результаты были представлены в виде диаграмм для 
с и i Плутона, усредненных по либрации в системе Нептун—Плутон с периодом 19 500 лет. Было показано, что со (аргумент перигелия) испытывает либрацию близ значения 90’ с амплитудой около 24° и периодом 3 955 000 лет. В работе Хори и Джакалия [17] отмечалось, что при данном значении большой полуоси решение для со является либрационным, если величина 
меньше некоторого критического значения. В противном же случае решение должно быть ротационным. Уильямс и Бенсон доказали, что если бы Плутон был близок к этому критическому значению, то амплитуда либрации была бы близка к 90°. Однако, поскольку эта амплитуда составляет всего 
Плутон должен находиться глубоко в области либрации. Уильямс и Бенсон полагали, что причиной расхождения их результатов с результатами Хори и Джакалия было ошибочное значение массы Нептуна, которым пользовались Хори и Джакалия. Интересен также сделанный в работе 
вывод о том, что влияние Нептуна должно приводить к обратному движению перигелия, а влияние остальных трех планет к движению в прямом направлении. Эти эффекты почти полностью компенсируют друг друга, так что суммарный эффект иногда бывает положительным, а иногда отрицательным. В своей простой модели Хори и Джакалия пренебрегали влиянием всех других планет. Интересно отметить, что помимо Плутона только у одного из естественных тел Солнечной системы наблюдается либрационное, а не ротационное движение; этим телом является астероид (1373) Цинциннати [21].
