9.9. Орбита Солнца в основной проблеме теории движения Луны

Начнем с того, что разложим функцию

в ряд. При этом процедура разложения очень похожа на процедуру разложения знаменателя в выражении для потенциала тела произвольной формы (когда используются полиномы Лежандра). Положим угол векторы . Тогда

Из треугольника CMS имеем

или

или, другими словами,

где — полиномы Лежандра.

Аналогично из тргугольника ECS, полагая и замечая, что угол находим

Записав уравнение (9.10) в виде

и подставив выражения (9.11) и (9.12), получим

Теперь мы можем воспользоваться этим выражением при рассмотрении орбиты Солнца. В силу уравнения (9.8) имеем

Отношение второго члена в скобках к первому равно

Следовательно, вторым и последующими членами в скобках с высокой степенью точности можно пренебречь. Таким образом, уравнение движения Солнца относительно центра масс системы Земля—Луна имеет вид

а это есть хорошо знакомое уравнение движения задачи двух тел, т. е. Солнце движется по орбите очень близкой кеплеровской эллиптической орбите. Следовательно, для координат Солнца справедливы обычные аналитические выражения, а элементы орбиты суть постоянные величины. На этом этапе задача движения Луны проще, чем планетная задача, в которой возмущающие тела сами испытывают заметные возмущения.