4.7.2. Положение на гиперболической орбите

В случае гиперболической орбиты справедливы все уравнения, аналогичные уравнениям (4.66)-(4.75) для эллиптической орбиты, за исключением (4.73).

Введем v так, что

Из уравнения (4.88) получаем

откуда находим

Из уравнений (4.90) и (4.97) получаем

Введем теперь переменную F, аналогичную эксцентрической аномалии Е для эллиптической орбиты, следующим образом:

    (4.100)

Тогда

и уравнение (4.99) принимает вид

Интегрируя, получаем уравнение

    (4.101)

аналогичное уравнению Кеплера.

При решении уравнения (4.101) возникают те же проблемы, что и при решении уравнения Кеплера для эллиптического движения. Первая проблема состоит в нахождении приближенного значения F. Один из возможных методов решения этой задачи состоит в том, что строятся графики функций

Их пересечение дает необходимое приближение F при данном М. Другой метод состоит в следующем: заметим, что при можно написать

Кубическое уравнение

    (4.102)

имеет решение

где

Следует отметить, что если то надо решать уравнение

Если то в качестве начального приближения можно использовать значение

    (4.103)

где — натуральный логарифм.

Выбор уравнения (4.102) или (4.103) определяется величиной М, соответствующей значению эта величина приблизительно равна

Если то если то

После того как F найдено, из уравнения

получаем функцию Гудермана q от F. Тогда определяется из соотношений

Этот метод позволяет обойтись без гиперболических функций. С другой стороны, из уравнений (4.88) и (4.100) имеем

    (4.104)

Воспользовавшись формулами

уравнение (4.104) можно представить в виде

Соотношения, полученные в этом разделе, а также в разд. 4.7 и 4.7.1, могут быть использованы для определения положения тела на орбите в любой момент времени (при условии, что элементы заданы) или для определения элементов по заданным положению и скорости. Метод решения этих задач аналогичен методу, описанному в разд. 4.5.7.