Глава 6. Общие возмущения

6.1. Введение

Как нам уже известно, задача двух тел может быть решена до конца. В то же время задача многих тел, кроме специальных случаев и нескольких общих результатов, является неразрешимой в том смысле, что нельзя получить аналитические выражения, описывающие поведение тел в любой момент времени. Даже в случае задачи двух тел, когда одно из тел имеет произвольные форму и распределение масс, задача не может быть полностью решена в общем виде.

Однако в дальнейшем в этой главе будет показано, что при рассмотрении движения планеты вокруг Солнца и движения близкого спутника вокруг несферической планеты потенциальная функция U может быть представлена в виде

где — потенциальная функция, обусловленная точечной массой (потенциальная функция задачи двух тел), a R - потенциальная функция, обусловленная либо влиянием других притягивающих тел в системе, либо сплюснутостью планеты, вокруг которой обращается тело. Как правило, влияние возмущающей функции R по крайней мере на порядок меньше влияния . Поэтому для того, чтобы предсказать с любой степенью точности поведение тела в будущем, можно воспользоваться методами общих или специальных возмущений. В противном случае (когда влияние возмущения велико), например при тесном сближении кометы с Юпитером или на определенном этапе полета Земля — Луна, должны использоваться методы специальных возмущений, описанные в следующей главе.

Многие теории общих возмущений основаны на том, что орбита задачи двух тел (обусловленная UQ) под действием R испытывает только медленные изменения. В таких теориях делаются попытки получить аналитические выражения для изменений элементов орбиты, обусловленных влиянием R, причем эти выражения должны быть справедливы на определенном интервале времени. Если в момент времени орбита (пусть она будет эллипсом) имеет

элементы , то эллипс с такими элементами называется оскулирующим эллипсом, а элементы называются оскулирующими элементами в момент времени Скорость возмущенного движения планеты на оскулирующем эллипсе в этот момент времени равна скорости на действительной орбите.

Из-за наличия R элементы орбиты в некоторый последующий момент будут равны . Величины и т. д. являются возмущениями элементов на интервале Очевидно, этим возмущениям элементов соответствуют возмущения координат и компонент скорости. Если для получения положения и скорости в момент использовать формулы задачи двух тел (гл. 4), а в качестве элементов взять оскулирующие элементы при то полученные величины будут отличаться от соответствующих величин вычисленных по оскулирующим элементам при Отклонения и т. д. являются возмущениями координат и т. д. Использование решения задачи двух тел (конического сечения) в качестве средней орбиты дает хорошее приближение действительной орбиты тела на значительном интервале времени. Делались попытки использовать в качестве средней орбиты более точные приближения действительной орбиты. Примером может служить приближение, использованное Хиллом в построенной им теории движения Луны. В дальнейшем будет показано, что при рассмотрении движения искусственного спутника можно в первом приближении выбрать такую орбиту, которая будет описывать движение значительно точнее, чем простой кеплеровский эллипс.

Общие возмущения полезны не только в задаче прогнозирования будущего положения тела, но также и потому, что позволяют обнаружить источник наблюдаемых возмущений. Это становится возможным благодаря тому, что различные части возмущающей функции входят в аналитические выражения явным образом. Например, грушевидность Земли была обнаружена О’Кифом, Эккелсом и Сквайресом на основании изучения долгопериодических возмущений орбиты спутника Земли обусловленных третьей гармоникой гравитационного потенциала Земли.

В последующих разделах будет рассмотрен метод вариации параметров, поскольку в нем нашли отражение основные идеи и результаты общей теории возмущений. Будет также описано несколько полезных способов разложения возмущающей силы.