4.5. Эллиптическая орбита

Эллипс — это геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фиксированной точки, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной линии, называемой директрисой, постоянно (и меньше единицы).

Пусть на рис. 4.3 точка S будет фокусом, а линия KL директрисой, причем Возьмем такую точку Р, чтобы длины SP и РМ были связаны соотношением

    (4.22)

Тогда геометрическое место таких точек (т. е. фигура ), для которых имеет место соотношение (4.22) при постоянном , является эллипсом с эксцентриситетом и с центром в С. В этом эллипсе точка S является вторым фокусом, (большая ось), (малая ось),

Кроме того, хорда QQ, проходящая через S и параллельная малой оси, называется фокальным параметром; фокальный полу параметр имеет длину

Рис. 4.3.

В декартовых координатах введенных так, как показано на рис. 4.3, каноническое уравнение эллипса имеет вид

Если полярные координаты введены таким образом, что , а , то уравнение эллипса в полярной форме примет вид

Доказательство всех приведенных выше утверждений можно найти в любой книге, посвященной коническим сечениям.

В оставшейся части этой главы решение задачи двух тел применяется к задачам орбитального движения в Солнечной системе; однако, как будет видно в дальнейшем, многие понятия и результаты могут быть оставлены без изменений и в случаях, когда, например, рассматриваются двойные звезды.

Итак, пусть тело Р движется вокруг Солнца 5. Фокус S часто называют пустым фокусом. Пусть в данный момент плоскость орбиты совпадает с плоскостью эклиптики. Возьмем в качестве

опорного направление на точку весеннего равноденствия Т (см. рис. 4.3). Тогда, если истинная аномалия о и уравнение орбиты имеет вид

Видно, что если , то тело находится в перигелии и . Если , то тело находится в афелии и .

Из уравнения (4.15) получаем соотношение

где — удвоенная секториальная скорость.

Поскольку площадь эллипса равна и эта площадь должна заметаться за время Т, равное периоду обращения тела по орбите, то

или

Далее, из уравнений (4.21) и (4.24) получаем

где . Исключая окончательно находим

Это важное соотношение показывает, что период зависит только от величины большой полуоси и суммы масс.

Если — массы Солнца и планеты соответственно, а — период и большая полуось орбиты планеты, то уравнение (4.26) дает

Для другой планеты массы движущейся по орбите с периодом и большой полуосью имеем

Следовательно, из (4.27), (4.28) получаем

Уравнение (4.29) представляет собой точную форму третьего закона Кеплера. Заметим, что фактически даже для Юпитера, самой массивной планеты, , так что левая часть уравнения (4.29) близка к единице.