4.5. Эллиптическая орбита
Эллипс — это геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фиксированной точки, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной линии, называемой директрисой, постоянно (и меньше единицы).
Пусть на рис. 4.3 точка S будет фокусом, а линия KL директрисой, причем
Возьмем такую точку Р, чтобы длины SP и РМ были связаны соотношением
(4.22)
Тогда геометрическое место таких точек (т. е. фигура
), для которых имеет место соотношение (4.22) при постоянном
, является эллипсом с эксцентриситетом
и с центром в С. В этом эллипсе точка S является вторым фокусом,
(большая ось),
(малая ось),
Кроме того, хорда QQ, проходящая через S и параллельная малой оси, называется фокальным параметром; фокальный полу параметр
имеет длину
Рис. 4.3.
В декартовых координатах
введенных так, как показано на рис. 4.3, каноническое уравнение эллипса имеет вид
Если полярные координаты
введены таким образом, что
, а
, то уравнение эллипса в полярной форме примет вид
Доказательство всех приведенных выше утверждений можно найти в любой книге, посвященной коническим сечениям.
В оставшейся части этой главы решение задачи двух тел применяется к задачам орбитального движения в Солнечной системе; однако, как будет видно в дальнейшем, многие понятия и результаты могут быть оставлены без изменений и в случаях, когда, например, рассматриваются двойные звезды.
Итак, пусть тело Р движется вокруг Солнца 5. Фокус S часто называют пустым фокусом. Пусть в данный момент плоскость орбиты совпадает с плоскостью эклиптики. Возьмем в качестве
опорного направление на точку весеннего равноденствия Т (см. рис. 4.3). Тогда, если
истинная аномалия
о и уравнение орбиты имеет вид
Видно, что если
, то тело находится в перигелии и
. Если
, то тело находится в афелии и
.
Из уравнения (4.15) получаем соотношение
где
— удвоенная секториальная скорость.
Поскольку площадь эллипса равна
и эта площадь должна заметаться за время Т, равное периоду обращения тела по орбите, то
или
Далее, из уравнений (4.21) и (4.24) получаем
где
. Исключая
окончательно находим
Это важное соотношение показывает, что период зависит только от величины большой полуоси и суммы масс.
Если
— массы Солнца и планеты соответственно, а
— период и большая полуось орбиты планеты, то уравнение (4.26) дает
Для другой планеты массы
движущейся по орбите с периодом
и большой полуосью
имеем
Следовательно, из (4.27), (4.28) получаем
Уравнение (4.29) представляет собой точную форму третьего закона Кеплера. Заметим, что фактически даже для Юпитера, самой массивной планеты,
, так что левая часть уравнения (4.29) близка к единице.