6.7.4. Разложение возмущающей силы

В рассматриваемых до сих пор уравнениях движения планет правые части содержат частные производные возмущающей функции R по элементам орбиты. Уже указывалось (без доказательства), что возмущающую функцию можно представить в виде ряда

Зная частные производные, можно путем интегрирования получить для каждого элемента длинные и сложные ряды. Вычисление значений элементов при помощи таких рядов требует значительного времени, особенно при высоких эксцентриситетах, когда в разложениях приходится учитывать большое число членов с высокими степенями е.

Гауссом был предложен метод, при использовании которого эта работа значительно сокращается. Суть метода состоит в том, что для элементов орбиты составляются дифференциальные уравнения, куда входят три взаимно перпендикулярные компоненты возмущающего ускорения. Следует заметить, что в небесной механике и астродинамике правая часть уравнения относительного движения

представляет собой, строго говоря, возмущающее ускорение, хотя ее часто и называют возмущающей силой. Этими компонентами являются S, Т и W, где S — радиальная компонента, направленная вдоль гелиоцентрического радиуса планеты; Т — трансверсальная компонента, лежащая в плоскости орбиты, перпендикулярная S и составляющая с вектором скорости угол, меньший компонента, перпендикулярная плоскости орбиты (она считается положительной, если направлена на север относительно плоскости орбиты).

Для того чтобы выразить правые части уравнений (6.30) через S, Т и W, надо сначала выразить через эти компоненты ( — элемент).

Известно, что

где — истинная аномалия.

Подставляя эти выражения в (6.30), получаем

Здесь Е — эксцентрическая аномалия, . Кроме того, имеем

Следует заметить, что в силу определения элемента в разд. 6.7.1 для средней долготы справедлива формула

Отметим также, что форма уравнении (6.41) сохранится в том случае, когда компоненты сил не могут быть представлены в виде дифференциалов какой-то одной функции. Эти уравнения будут справедливы, напрпмер, и тогда, когда возмущение обусловлено силой сопротивления среды.

Рис. 6.7.

Уравнения (6.41) часто применяются в теории специальных возмущений. Что касается компонент S, Т и W, то их можно вычислить в любой момент времени следующим образом. В случае одной возмущающей планеты Р, имеем

где — гелиоцентрические прямоугольные координаты планет , соответственно, а

Тогда

Координатам у и соответствуют два аналогичных уравнения.

Компоненты S, Т и W образуют правую прямоугольную тройку осей (рис. 6.7). Обозначим направляющие косинусы этих

осей относительно OX, OY и OZ соответственно . Тогда можно написать

откуда получаем

Воспользовавшись теоремой косинусов, направляющие косинусы можно выразить через величины (см. рис. 6.7). Например,

Таким образом, если известны элементы орбиты планеты Р и положения Р и то S, Т и W можно вычислить для любого момента времени.

Иногда бывает удобно раскладывать возмущающее ускорение на другие компоненты, вводя тангенциальную составляющую Т, касательную к орбите и направленную в сторону движения, и нормальную составляющую N, перпендикулярную к касательной (за положительное направление выбирается направление внешней нормали). Тангенциальная компонента Т и нормальная компонента N заменяют введенные ранее компоненты S и Т. Третьей компонентой, как и раньше, остается ортогональная им компонента

Воспользовавшись уравнением (4.46), легко показать, что

Здесь — истинная аномалия.

Такой способ разложения применяется при исследовании влияния сопротивления атмосферы на движение искусственного спутника. Если сила сопротивления имеет только отрицательную тангенциальную компоненту и является единственной возмущающей силой, то из уравнений (6.41) и (6.42) следует, что Q и i изменяться не будут, а большая полуось а будет монотонно уменьшаться. Изменения остальных элементов будут рассмотрены более подробно в гл. 10.