13.2. Теория определения орбит
Пусть гелиоцентрические экваториальные координаты Земли Е и космического корабля V определяются как (X, Y, Z) и
соответственно; тогда гелиоцентрические расстояния Земли R и корабля
определяются как
Геоцентрическое расстояние
корабля связано с R и
соотношением
где
— угол SEV в треугольнике VSE (рис. 13.1), a S - Солнце. Геоцентрические координаты корабля
связаны с его прямым восхождением а, склонением
и геоцентрическим расстоянием
(предполагается, что наблюдения a и b исправлены за параллакс, прецессию и т. д. в соответствии с методами гл. 3) следующими выражениями:
Рис. 13.1.
Здесь
— геоцентрические направляющие косинусы корабля. Далее, имеем
Дифференцируя первое из выражений (13.3) дважды по времени, получаем
и
При этом как Земля (масса
), так и космический аппарат (масса
) движутся по орбитам вокруг Солнца (масса
). Если пренебречь возмущениями, то эти орбиты определяются уравнениями
и
Тогда (13.5) принимает вид
Пренебрегая массой корабля и подставляя
вместо х в (13.8), получаем
Сходным путем получаются уравнения для Y и
Эти три уравнения можно разрешить для получения
, выраженных через
. Все перечисленные величины, за исключением
, либо известны, либо выводятся из наблюдаемых величин. Последняя же величина исключается путем подстановки в приведенное выше уравнение для
выражения для
, полученное из соотношения
Последнее соотношение выводится из треугольника
откуда в силу (13.1)
и
После исключения
получившееся уравнение оказывается уравнением 8-й степени по
. Задача нахождения его корней рассматривается в большом числе руководств, в частности [4, 5, 6, 7].
После нахождения
гелиоцентрические координаты
и компоненты скорости
могут быть вычислены из выражений
и
и аналогичных выражений для
.
Последующее применение способа, изложенного в разд. 4.12, даст нам элементы гелиоцентрической орбиты космического корабля.