13.2. Теория определения орбит

Пусть гелиоцентрические экваториальные координаты Земли Е и космического корабля V определяются как (X, Y, Z) и соответственно; тогда гелиоцентрические расстояния Земли R и корабля определяются как

Геоцентрическое расстояние корабля связано с R и соотношением

где — угол SEV в треугольнике VSE (рис. 13.1), a S - Солнце. Геоцентрические координаты корабля связаны с его прямым восхождением а, склонением и геоцентрическим расстоянием (предполагается, что наблюдения a и b исправлены за параллакс, прецессию и т. д. в соответствии с методами гл. 3) следующими выражениями:

Рис. 13.1.

Здесь — геоцентрические направляющие косинусы корабля. Далее, имеем

Дифференцируя первое из выражений (13.3) дважды по времени, получаем

и

При этом как Земля (масса ), так и космический аппарат (масса ) движутся по орбитам вокруг Солнца (масса ). Если пренебречь возмущениями, то эти орбиты определяются уравнениями

и

Тогда (13.5) принимает вид

Пренебрегая массой корабля и подставляя вместо х в (13.8), получаем

Сходным путем получаются уравнения для Y и

Эти три уравнения можно разрешить для получения , выраженных через . Все перечисленные величины, за исключением , либо известны, либо выводятся из наблюдаемых величин. Последняя же величина исключается путем подстановки в приведенное выше уравнение для выражения для , полученное из соотношения

Последнее соотношение выводится из треугольника откуда в силу (13.1)

и

После исключения получившееся уравнение оказывается уравнением 8-й степени по . Задача нахождения его корней рассматривается в большом числе руководств, в частности [4, 5, 6, 7].

После нахождения гелиоцентрические координаты и компоненты скорости могут быть вычислены из выражений

и

и аналогичных выражений для .

Последующее применение способа, изложенного в разд. 4.12, даст нам элементы гелиоцентрической орбиты космического корабля.