7.5.3. Процедура численного интегрирования

Предположим, что в момент нам известны значения и компоненты возмущающего ускорения F. Тогда можно, воспользовавшись соотношениями (7.23)-(7.28), вычислить правые части уравнений (7.9), (7.10) и (7.18). Относительно уравнения (7.18) следует заметить, что если промежуточная орбита совпадает при с реальной орбитой, то величина

в этот момент времени равна нулю. Однако она не равна нулю в последующие моменты времени, так как, во-первых, изменяется, а остается постоянным и, во-вторых, изменяются со временем:

Значения в конце интервала получаются методом численного интегрирования.

При этом остается еще задача вычисления величины (кеп-леровской истинной долготы) в конце шага которая необходима для получения возмущенной истинной долготы к Будем значения величин при снабжать индексами (0) и (1) соответственно.

Имеем

так что

поскольку для промежуточной орбиты постоянно.

Следовательно, изменение за шаг равно изменению на данном интервале кеплеровской (т. е. невозмущенной) истинной аномалии. При вычислениях используются стандартные формулы эллиптического, параболического или гиперболического движения.

Значение при известно. Характер промежуточной орбиты на шаге будет зависеть от этого значения:

1) если , то орбита эллиптическая;

2) если , то орбита параболическая;

3) если , то орбита гиперболическая.

В каждом из трех случаев процедура будет следующей:

1) Подставляя в соотношение

значения кеплеровских элементов при , получаем значение кеплеровской эксцентрической аномалии при . В конце шага значение определяется из уравнения

где

и

Уравнение Кеплера (7.48) можно решить, применяя обычный метод Ньютона—Рафсона. Затем подставляется в уравнения

и определяется при

2) Обозначим Тогда, если значения J при то в силу уравнения Баркера имеем

где

и

Решить уравнение Баркера можно методом, описанным в в разд. 4.6.

3) Вводится гиперболическая «эксцентрическая аномалия»

Значение F при определяется из уравнения

где

и

Уравнение (7.52) можно решить методом, описанным в разд. 4.7.2.

После того как найдено (значение F при можно определить функцию Гудермана от F (т. е. q) из уравнения

И наконец, из системы

вычисляется при

Таким образом, получаем

и

Уравнения (7.29)-(7.40) определяют значения при . Если нужно, то из уравнений (7.41)-(7.43) и уравнений, соответствующих эллиптическому, параболическому или гиперболическому движению (в зависимости от величины при ), можно найти новые оскулирующие элементы а (или q), . При этом, разумеется, совсем не обязательно продолжать интегрирование.

Далее надо решать, следует ли спрямлять (т. е. улучшать) промежуточную орбиту. При решении этого вопроса надо учитывать трудоемкость спрямления, величину члена

и характер используемого метода численного интегрирования.

Что касается трудоемкости процедуры спрямления, то здесь она значительно проще, чем в методе Энке. Старые значения , соответствующие концу шага, надо просто заменить на уже вычисленные значения .