7.5. Использование возмущенных уравнений

Уравнения Лагранжа для планет (6.30), (6.35) и (6.36) можно интегрировать не аналитически, а численно. При этом в вычислениях на каждом последующем шаге используются новые значения элементов, полученные в конце предыдущего шага. Другой способ состоит в том, что в правые части уравнений подставляются оскулирующие элементы и затем уравнения интегрируются численно на большом интервале времени. В результате для элементов

получаются возмущения первого порядка. Возмущенные элементы снова подставляются в правые части уравнений, и уравнения интегрируются еще раз на всем интервале. Таким образом получаются возмущения второго порядка и т. д. Этот метод аналогичен аналитическому методу, описанному в разд. 6.2.3.

Как уже указывалось в разд. 6.7.4, в теории специальных возмущений часто применяются уравнения (6.41), в которых правые части выражены через компоненты S, Т и W.

С тех пор как Лагранж вывел свои уравнения для планет (в которых скорости изменения оскулирующих элементов орбиты планеты выражаются через элементы данной планеты и элементы планет, возмущающих ее гелиоцентрическую орбиту), многие авторы неоднократно пытались устранить некоторые серьезные недостатки этого метода, присущие ему наряду со многими достоинствами. Среди достоинств метода отметим следующие:

1) поскольку это метод теории возмущений, то в нем ускорение центрального тела не принимается во внимание;

2) при умеренных возмущениях дифференциалы элементов малы и, таким образом, величину шага можно взять намного большей, чем это возможно при методе Коуэлла, где на каждом шаге вычисляется ускорение, обусловленное влиянием центрального тела;

3) в процессе интегрирования сразу же проявляется характер изменения элементов.

Недостатки метода таковы:

1) правые части уравнений сложнее соответствующих частей уравнений в прямоугольных координатах;

2) в уравнениях присутствуют синусы и косинусы ряда аргументов;

3) уравнения недействительны при обращении эксцентриситета в нуль или единицу или при равенстве нулю наклонения орбиты;

4) уравнения обычно выражаются через эллиптические элементы, и, следовательно, они неприменимы к параболическим, гиперболическим или прямолинейным орбитам;

5) необходимо решать уравнение Кеплера.

Что касается недостатков 1) и 2), то они приводят к увеличению объема вычислений, которые необходимо выполнять на каждом шаге, чтобы получить значения правых частей уравнений Лагранжа. Это обстоятельство в сочетании с необходимостью вычислять синусы и косинусы шести различных углов значительно сокращает экономию машинного времени, связанную с использованием большего (по сравнению с методом Коуэлла) шага интегрирования.

Недостаток 3) проявляется при работе с сильно эксцентрическими орбитами комет, а также с орбитами планет, поскольку

последние имеют малый эксцентриситет и небольшое наклонение относительно опорной плоскости (плоскости эклиптики или неизменяемой плоскости Солнечной системы). При уменьшении эксцентриситета становится неопределенным положение линии апсид, а при приближении к нулю наклонения становится невозможным точное вычисление долготы восходящего узла. Чтобы избежать этих трудностей, обычно вместо элементов и Q вводят переменные

При стремлении эксцентриситета к единице применяют другие преобразования.

До наступления эры искусственных спутников и межпланетных космических аппаратов недостаток 4) считался несущественным. Он сказывался, только когда дело касалось комет. Однако в настоящее время указанный вид уравнений приводит к серьезным осложнениям, например, при рассмотрении ухода космического аппарата от Земли На гелиоцентрическую орбиту, особенно если уход осуществляется по гиперболической траектории. Другим примером может служить полет в окололунном пространстве, где возможны гиперболические (столкновение с Луной) и сильно эксцентрические орбиты.

Недостаток 5) является скорее кажущимся, поскольку такие методы, как метод последовательных приближений Ньютона— Рафсона [12], сходятся настолько быстро, что на это расходуется очень мало машинного времени. Кроме того, многими авторами было показано, что решения уравнения Кеплера можно избежать, если в качестве независимой переменной взять не время, а истинную или эксцентрическую аномалию. Эксцентрическую аномалию, например, впервые применил Оппольцер 124] при расчете возмущений кометы Понса—Виннеке в течение девяти витков .

Некоторым авторам удалось частично избавиться от перечисленных недостатков путем использования различных комбинаций векторов:

где — эксцентриситет; — фокальный полупараметр, равный (а — большая полуось); Р и R — единичные векторы, направленные соответственно от центрального тела к перицентру и вдоль нормали к плоскости орбиты; . Например, Херрик [14] использовал векторы а и b, Миланкович [22] —

векторы а и с, а вектор g в неявном виде применялся в теории Ганзена. Эти пары векторов дают только пять независимых скаляров, так что требуется еще шестой параметр. В качестве этого параметра обычно используется средняя аномалия, момент прохождения перицентра, средняя аномалия в эпоху или модифицированная средняя аномалия в эпоху. Метод, использующий в качестве независимой переменной среднюю аномалию, описан Мертоном [21].

Аллан [1] и Аллан и Уорд [2] использовали векторы h (оску-лирующий момент количества движения) и (вектор, имеющий величину и направленный вдоль большой оси в сторону перигелия). Получающиеся в результате уравнения оказываются более компактными, и в них не входит большая часть тригонометрических членов, встречающихся в уравнениях Лагранжа. Однако и они все же остаются слишком громоздкими. Для указанных векторов имеет место ряд соотношений:

которые можно использовать для контроля.

Мазен [23] при записи системы дифференциальных уравнений в специальных возмущениях использовал векторы с и g. Он показал, что при использовании метода Херрика присутствие в выражениях для векторов а и b при малых приводит к трудностям, хотя Херрик [14] предложил заменить среднюю аномалию средней долготой и вместо b использовать с. Герджет [13] описал систему уравнений, в которой устранена присущая методу Мазен а особенность при нулевом эксцентриситете. Однако эти уравнения оказались очень громоздкими.

Другие подходы применялись Гарафало [9], Коэном и Хаббардом 15] и Пайнсом [26]. Чтобы избежать особенностей при с Гарафало [9] ввел систему переменных, пять из которых получаются интегрированием выражений, имеющих множителем возмущающую массу. Однако шестое выражение

( истинная аномалия) имеет нулевой порядок и, как показал Гарафало, требует меньшего шага интегрирования.

Коэн и Хаббард [5] применили преобразование элементов эллиптической орбиты, позволяющее устранить особенности при . Кроме того, как уже упоминалось, использование в их уравнениях в качестве независимой переменной истинной долготы позволяет избежать решения уравнения Кеплера. Однако, как уже говорилось выше, решение уравнения Кеплера при применении метода Ньютона—Рафсона не является сложной или требующей большого времени задачей. Полученная

система уравнений, выраженных через радиальную, трансверсальную и нормальную компоненты возмущающего ускорения, не очень проста и нарушается при h = 0.

Пайне 126] также избежал трудностей, возникающих при малых эксцентриситетах и наклонениях, и обошелся без дополнительного уравнения для интегрирования среднего движения. В его методе в качестве параметров используются векторы начального положения и начальной скорости в плоскости оскулирующей орбиты, однако получающиеся в результате дифференциальные уравнения оказались очень сложными.

Ниже будет описана система возмущенных уравнений, для которой сведены к минимуму перечисленные выше недостатки и сохранены все достоинства уравнений Лагранжа. Кроме того, она справедлива для всех орбит, близких к коническим сечениям.