8.8. Принцип Овендена

В работе Хиллса [15] были численно проинтегрированы уравнения движения для одиннадцати гипотетических компланарных планетных систем (большая центральная масса и несколько малых масс) при различных значениях масс и различных начальных условиях. Хиллс показал, что все системы в результате взаимодействия их элементов стремятся прийти в квазиустойчивые состояния, причем в каждом таком состоянии хорошо прослеживается следующая тенденция: периоды соседних орбит оказываются почти-соизмеримыми (отношение периодов близко к отношению малых целых чисел). В более поздней работе, посвященной этой же теме, Овенден [251 подтвердил полученный Хиллсом результат и показал, что отношение средних движений любой нары планет чаще всего оказывалось (в процессе численного интегрирования) близким к рациональной дроби с малыми целыми членами. Следует заметить, что ни Хиллс, ни Овенден при моделировании не учитывали приливные силы, считая тела материальными точками.

Овенден пришел к выводу, что общие свойства рассматриваемой системы можно получить даже при таком грубом моделировании. Оказалось, что система лишь очень короткое время находится в состоянии, когда какие-либо планеты расположены близко друг к другу и сильно взаимодействуют между собой: большую часть времени планеты расположены друг от друга на значительных расстояниях и взаимодействуют довольно слабо. Овенден сформулировал свой принцип наименьшего взаимодействия, который гласит, что «спутниковая система из точечных масс большую часть времени близка к такой конфигурации, в которой среднее (по времени) действие, связанное с взаимодействием тел системы, минимально». Можно показать, что это условие эквивалентно минимуму усредненной по времени функции

где — массы спутников, а — мгновенное расстояние между ними. Этот принцип по существу был открыт еще Бассом за несколько лет до Овендена, но тогда он был сформулирован как совершенно абстрактная теорема и не был применен к Солнечной системе. Овенден показал, что если этот принцип применить к случаю двух спутников, то мы получим резонансные конфигурации, подобные парам спутников Сатурна (см. разд. 8.6). Указанный принцип следует из теоремы Пуанкаре [28], которая гласит, что возмущающая функция гравитирующей резонансной системы, усредненная по критическому или резонансному

параметру, принимает значение, соответствующее локальному минимуму 113, 16].

Применяя свой принцип к системам, содержащим более двух спутников, Овенден получил некоторые интересные результаты.

1) Распределение пяти спутников Урана с точностью до соответствует распределению, на котором достигается минимум действия взаимодействующих сил.

2) Средние движения V, I и 11 спутников Урана, а также I, II, и III спутников Юпитера связаны соотношениями Лапласа:

3) Интервалы времени, в течение которых системы спутников Юпитера и Урана приходят в резонансные состояния (с точностью, соответствующей точности наблюдений), равны соответственно лет. Эти значения хорошо согласуются с возрастом Солнечной системы, составляющим, лет.

4) Состояние системы Юпитер—Сатурн—Уран-Нептун не соответствует минимуму взаимодействия.

Затем Овенден постулировал, что раньше на месте пояса астероидов была планета с массой МА. В зависимости от величины параметра МА он рассчитал семейство конфигураций, обладающих свойством минимума взаимодействия. Кроме того, он рассчитал семейство конфигураций для системы — Юпитер—Сатурн—Уран—Нептун, взяв в качестве параметра время. В результате он нашел, что при лет система —Юпитер—Сатурн—Уран—Нептун должна быть в состоянии, соответствующем минимуму взаимодействия. Если в указанное время планета МА в результате какого-нибудь процесса распалась, то оставшаяся система в настоящее время находится на пути к своему минимуму взаимодействия, но еще не достигла его. Заметим, что, варьируя только два параметра, удалось с точностью 0,3% подогнать значения четырех отдельных величин. В качестве обоснования своей гипотезы Овенден указал на то, что ахондриты (каменные метеориты) имеют возраст порядка лет, и поэтому можно предположить, что их происхождение имеет отношение к МА.

Эти результаты, которые, несмотря на свою взаимную согласованность, представляются чрезвычайно спорными, были получены с использованием довольно грубой процедуры интегрирования. По предположению Овендена, в процессе эволюции система проходит через ряд квазикруговых орбит, причем механизм такой эволюции связан с вековым членом (пропорциональным , где — возмущающая масса, а е - эксцентриситет орбиты) в разложении для большой полуоси. Существование такого векового

члена само по себе является спорным; что касается вычислений Овендена, то они с точки зрения надежности оставляют желать много лучшего. Однако сам Овенден неоднократно указывал на то, что точно проинтегрировать уравнения движения для планетной системы на интервале лет не представляется возможным. Очевидно, если бы такое интегрирование удалось осуществить, то оно с полным основанием могло бы либо подтвердить, либо опровергнуть гипотезу Овендена.