13.3. Метод Лапласа

Схема, описанная в предыдущем разделе, была предложена Лапласом в качестве метода определения орбит. Чтобы ее реализовать на практике, необходимо найти первые и вторые производные по времени; прямо связаны с наблюдаемыми величинами а и б, в то время как —X, —У, —Z затабулированы в «Астрономическом ежегоднике» для каждого дня года, так что их первые производные X, Y, Z выводятся без труда.

Обозначим через единичный вектор вдоль направления от центра Земли на космический корабль; тогда

    (13.10)

где I, j, к — единичные векторы вдоль геоцентрических осей х, у, соответственно. Разлагая в ряд Тейлора относительно значения в момент получаем

где — значение через интервал времени после того, как эта величина имела значение скобки и индекс «0» указывают, что после дифференцирования по t подставляются значения для

При достаточно малом можно пренебречь членами более высокого порядка, чем тогда

    (13.11)

Три наблюдения обеспечивают нам три уравнения для величин так что при известном можно найти

Обычно значение выбирается для среднего наблюдения. Найденные значения разумеется, являются приближенными, но они могут быть улучшены, если имеются более чем три наблюдения. Тогда возможно выписать большее число уравнений и использовать эту систему сначала для исключения членов высокого порядка в что обеспечивает вычисление более точных значений

Первоначальный метод Лапласа подвергался модификациям для устранения различных неудобств. В одной из таких модификаций, предложенной Штумпфом, используются отношения

направляющих косинусов. Следуя рассмотрению Герджета [51, введем величины U, V, Р и Q, определяемые равенствами

величины в правых частях равенств имеют прежний смысл. U и V получаются из наблюдений; X, Y, Z берутся из «Астрономического ежегодника». Тогда имеем

Далее, аналогично

    (13.14)

Дифференцируя (13.13) и (13.14) дважды по времени, получаем

Теперь

    (13.16)

где . Используя выражение уравнения (13.16) в компонентах для подстановки значений в последние два уравнения системы (13.15), получаем

или

    (13.17)

С учетом (13.13) находим, что

    (13.18)

Аналогично

    (13.19)

Определяя величину D при помощи соотношения

    (13.20)

и используя (13.18) и (13.19), имеем

    (13.21)

а также

    (13.22)

Далее,

после чего

    (13.23)

Применяя усеченный ряд Тейлора (13.11) и располагая, как и раньше, тремя наблюдениями, можно найти численные значения U, U, V, V из первых двух уравнений (13.12). Последние два уравнения (13.12) с использованием данных из «Астрономического ежегодника» дают нам Р и Q, а после дифференцирования — Р и Q.

Следующий шаг состоит в решении (13.21) и (13.23) способом итерации для определения и х. После этого уравнение (13.22) дает х; затем первые два уравнения (13.15) дают нам у и , в то время как (13.13) и (13.14) определяют у и z соответственно. Элементы орбиты теперь находятся в соответствии с разд. 4.12.

Хотя метод Штумпфа сводит определители до определителей и сберегает время при ручных вычислениях, это преимущество достигается за счет затрат труда на подразделение неба на районы, причем имеют место специальные случаи. Если в распоряжении имеется ЭВМ, то лучше остановиться на более общем методе.