5.10.9. Поверхность сечения

Рассмотрим дифференциальные уравнения движения автономной системы

где — число степеней свободы системы. Пусть хот) — вектор, компоненты которого равны значениям в эпоху t = 0. Тогда решение уравнения (5.74) можно записать в виде

Кривые (5.75) в фазовом пространстве называются «характеристиками», а их проекции в пространстве положений — траекториями движущейся частицы.

Характеристики (5.75) определяют преобразование точки , т. е.

Оператор переводит точку в фазовом пространстве (в которой частица находилась в момент ) в точку х (в которой частица находится в момент f). В ограниченной задаче якобиан (матрица) преобразования имеет единичный определитель, т. е.

поскольку для автономной системы

где А — дивергенция вектора (для гамильтоновых систем ).

С другой стороны, при имеем (единичная матрица 4 х 4). Отсюда следует знаменитая теорема Лиувилля: «Объем в фазовом пространстве сохраняется». В этой связи обычно говорят, что «жидкость несжимаема». Возьмем в фазовом пространстве некоторую область и измерим ее -мерный объем. Если мы теперь будем следить за тем, что происходит с этой областью при ее движении вдоль траекторий в фазовом пространстве, то обнаружим следующие закономерности: 1) траектории (называемые линиями тока) не пересекаются, т. е. через каждую точку фазового пространства проходит только одна линия тока; 2) какие бы деформации ни испытывала данная область, ее объем остается неизменным. Эта теорема имеет большое значение в гидродинамике и звездной динамике.

Возвращаясь к ограниченной задаче, предположим, что в фазовом пространстве можно построить такую двумерную поверхность, что в течение фиксированного промежутка времени упоминаемые выше характеристики пересекут ее по крайней мере один раз. Пуанкаре и Биркгофф исследовали эти пересечения с рассматриваемой «поверхностью сечения» и обнаружили, что с изменением

времени характеристика пересекает поверхность сечения в разных точках, но сама поверхность сечения является инвариантной. В плоской ограниченной задаче и, если воспользоваться интегралом Якоби, размерность фазового пространства можно понизить до трех. Другими словами, можно ограничиться исследованием трехмерного подпространства фазового проетранства, соответствующего фиксированному значению постоянной Якоби. В этом трехмерном подпространстве имеются двумерные поверхности, которые могут рассматриваться как поверхности сечения. Например, если в фазовом пространстве

4 заменить постоянной Якоби С (фиксированной), то получим трехмерное пространство

Если затем положить , то мы придем к поверхности сечения . Можно определить отображение которое каждой точке плоскости ставит в соответствие другую точку той же плоскости:

Поскольку каждой динамической системе соответствует такое отображение поверхности сечения самой на себя, то свойства системы становятся также и свойствами этого отображения. Периодичность некоторых решений динамической системы соответствует свойству инвариантности некоторых точек этой поверхности относительно отображения Например, неподвижные относительно точки, для которых соответствуют симметричным периодическим орбитам, которые могут быть найдены методом, описанным в разд. 5.10.5. Они называются «симметричными периодическими орбитами порядка .

Впервые подход, основанный на понятии поверхности сечения, был применен в работе [17] для выяснения вопроса о применимости для Галактики третьего интеграла движения (гипотеза Контопоулоса). Этот подход применялся также в [12, 13] для исследования вопроса о возможном существовании при определенных условиях такого интеграла в ограниченной задаче и при исследовании глобальной устойчивости.