13.6. Определение орбит при наличии дополнительных данных наблюдений

Появление искусственных спутников Земли, а также лунных и межпланетных космических кораблей привели к необходимости модификаций классических способов определения орбит.

В случае вновь запущенного искусственного спутника Земли предварительную орбиту можно найти путем измерения положения и компонент скорости в момент выключения двигателя и последующего вычисления элементов по методу разд. 4.12. Впоследствии эту орбиту можно улучшить при сборе наблюдений за спутником станциями слежения. В альтернативном способе, примененном Бриггсом и Слоуэем [3], используется метод итерации и высокоскоростная цифровая вычислительная машина; этот способ описан ниже.

Предположим, что три станции слежения (с известными геоцентрическими координатами) регистрируют направления на спутник в моменты когда спутник находится на своей геоцентрической орбите в точках соответственно (рис. 13.2).

Поскольку орбита спутника лежит в плоскости, проходящей через центр Земли, три геоцентрических радиуса-вектора находятся в одной плоскости. Пусть — направляющие косинусы трех положений спутника при наблюдении со станций причем геоцентрические радиусы-векторы R; станций S, определяются как

    (13.44)

где — геоцентрические прямоугольные координаты S, в момент — единичные векторы осей, определенные выше.

После этого топоцентрические радиусы-векторы спутника определяются как

    (13.45)

при этом топоцентрические расстояния будут неизвестными задачи.

Далее,

    (13.46)

и

    (13.47)

Рис. 13.2.

Если пренебречь возмущениями, векторы , оказываются компланарными, так что

    (13.48)

С учетом (13.47) предыдущее уравнение принимает вид

    (13.49)

Если теперь выбрать подходящие значения для и то из (13.49) можно получить значение . Общепринятый способ состоит в вычислении из (13.45) и (13.47) с последующим нахождением величин L, М и N из соотношения

    (13.50)

После этого находим

что позволяет вычислить

Теперь можно рассчитать разности истинной аномалии из соотношений

Для орбиты с прямым движением имеет тот же знак, что и -компонента векторного произведения

Затем из уравнения эллипса

    (13.53)

находим, что

    (13.54)

и что для любых

    (13.55)

Далее

Из уравнения (13.54) определяется Из двух возможных вариантов для выбирается тот, при котором в (13.55) имеет положительное значение; после этого соотношение (13.52) используется для нахождения и Теперь (13.56) дает нам а. Момент прохождения перигея , наступающий непосредственно после момента наблюдения спутника, можно найти из уже знакомого выражения в гл. 4:

    (13.58)

и

    (13.59)

где , m — масса Земли, G — постоянная тяготения, — значения средней, эксцентрической и истинной аномали соответственно для спутника в момент наблюдения Если на этом этапе вычисленные элементы используются для расчета интервалов времени между моментами наблюдений, то обнаружатся несогласия с наблюдаемыми интервалами времени, поскольку использовались лишь оцененные значения топоцентрических расстояний и

Путем использования ЭВМ и итеративной процедуры, аналогичной методу Ньютона—Рафсона, численные значения исправляются до тех пор, пока рассчитанные и наблюдаемые интервалы времени не будут согласовываться между собой.

После вывода исправленной орбиты легко рассчитать остающиеся элементы и аргумент перигея о. Наклонение находится из уравнения (13.50), из которого следует

    (13.60)

тогда как Q определяется выражением

    (13.61)

где знак выбирается таким же, как у произведения LN. Аргумент перигея о находится из данных любого наблюдения:

    (13.62)

где

Знак выбирается такой же, как . После того как становятся известными элементы предварительной орбиты, можно использовать теорию искусственного спутника Земли для вычисления вековых возмущений среднего движения, прямого восхождения узла и аргумента перигея, обеспечивая тем самым эфемериды спутника; затем накопление последующих наблюдений позволит улучшить орбиту. Когда оказываются доступными данные о дальности и скорости изменения дальности спутника, классические методы определения орбит можно модифицировать так, чтобы воспользоваться этими дополнительными данными. Например, в только что рассмотренном случае данные о дальности дадут нам значения , что существенно упростит расчет.

Возможно также получить элементы предварительной орбиты только из данных о дальности и скорости изменения дальности спутника. В принципе это возможно сделать следующим образом, исходя из трех пар наблюдений дальности и скорости ее изменения. Сам способ представляет собой видоизменение метода Лапласа; в нем используются усеченные ряды для . Выбирая те же обозначения, что и раньше, положим равными измеренным дальностям и скоростям изменения дальности космического корабля в моменты соответственно. Тогда

    (13.64)

и

    (13.65)

где

Теперь имеем

откуда

    (13.67)

и аналогичные уравнения по у и г. Подставляя полученные соотношения в (13.64) и (13.65), после некоторых преобразований получаем

    (13.68)

где

    (13.69)

Если все три пары наблюдений выполнены за короткие промежутки времени одно за другим, то ряды для и g (а также продифференцированные по времени ряды для ) можно обрезать следующим образом:

где

Следует напомнить, что хотя независимую переменную мы обозначили через единица времени выбрана так, что .

С учетом (13.69) уравнения (13.68) дают нам систему шести уравнений для шести неизвестных , которую можно решить способом итераций. Сначала сделаем определенное предположение о значениях и и s, после чего окажется возможным решить систему (13.68). Найденные значения позволяют вычислить новые значения и и s и получить новые решения. По значениям компонент положения и скорости в момент можно вывести элементы обычным путем.

Обычно при наличии данных о дальности и скорости изменения дальности имеются также и определенные сведения о направлении на космический корабль, или значении элонгации 0 (см. разд. 13.2); поэтому из уравнения

определяется достаточно точное значение первое приближение для также получается из уравнения (11.3); они проверяются при помощи второго уравнения системы (13.68). Если к тому же имеются грубые оценки , тогда возможно получить из уравнений (13.4) первые приближения для а следовательно, и для Затем систему уравнений (13.68) можно линеаризовать по что даст нам поправки к первому приближению значений

Подробности многочисленных методов, в которых для определения орбит используются данные о дальностях и скоростях изменения дальности, читатель найдет в важной статье Бейкера [1].