15.3. Парные сближения

Предположим, что две звезды с массами проходят настолько близко друг к другу, что их орбиты подвергаются взаимным возмущениям.

Рис. 15.1.

В соответствии с результатами гл. 4 можно рассматривать данный случай как сближение по гиперболической орбите. Звезда приближается из бесконечности с первоначально невозмущенной скоростью V по гиперболе АРВ (рис. 15.1), достигает перицентра Р на расстоянии от и удаляется по ветви гиперболы РВ.

Проведем на рис. 15.1 асимптоты гиперболы и FOF; тогда видно, что эффект звездного сближения сводится к преобразованию вектора относительной скорости V, направленного вдоль DOD, в вектор скорости V, направленный вдоль FOF, причем и первоначальное направление DOD поворачивается на угол DOF, который мы будем обозначать через 0. Тогда

здесь мы использовали результаты, полученные в разд. 4.8. Далее, если соответственно расстояние перицентра и скорость, то

где

Используем интеграл энергии

где С — постоянная энергия; тогда, подставляя в (15.3) значение из (15.2), получаем

Но в силу сохранения момента количества движения

Здесь — самое тесное прохождение звезд друг относительно друга (при условии, что они не касаются друг друга). Отсюда из (15.2) имеем

и подстановка в (15.4) выражения

дает с учетом (15.1)

Эта формула, полученная в 1928 г. Джинсом [31 совместно с формулой, определяющей абсолютную величину А У изменения вектора скорости, содержит всю необходимую информацию. Сам

вектор изменения скорости получается путем следующего рассмотрения. В треугольнике ABC (рис. 15.2) АВ и АС изображают начальный и конечный векторы скорости V и V, угол между которыми равен 0. Тогда вектор ДУ изображается отрезком ВС, и легко показать, что по абсолютной величине

Рассмотрим теперь величину скорости таких сближений. Пусть звезда S движется со скоростью V через объем, занятый другими звездами (в предположении, что они покоятся); v — звездная плотность. Тогда вектор скорости V и все расстояния , перпендикулярные к вектору скорости, определяют цилиндрический объем, все звезды в пределах которого испытывают сближение с S при невозмущенном расстоянии сближения, меньшем чем р. Следовательно, за единицу времени число подобных сближений равно

а обратное значение этой величины дает нам т — средний интервал времени между сближениями. Отсюда

Рис. 15.2.

Величина определяется как средний свободный пробег звезды для данного значения она представляет собой среднее расстояние, которое пройдет звезда между последовательными сближениями.

Теперь используем некоторые численные значения. Следуя Джинсу, назовем сближение очень тесным, если угол отклонения превышает 90°. Полагая в качестве типичных значений звезд в 1 куб. парсеке (принимая, что каждая звезда имеет, грубо говоря, солнечную массу), мы подставляем в (15.5) и (15.6). Из которого соотношения имеем

из второго

Тогда для очень тесного сближения находим лет. Поскольку диаметр Галактики и ее возраст порядка и лет соответственно, то видно, что очень тесные сближения по существу никогда не имеют места. В табл. 15.1 собраны только что полученные и другие результаты.

Радиус солнечной системы 40 а. е. Звезда, которая сблизится с Солнцем на такое расстояние, вызвала бы сильные возмущения

Таблица 15.1

орбит планет. Тем не менее мы видим, что вероятность такого события исключительно мала. Даже «нормальные» сближения, приводящие две звезды на расстояние друг от друга, составляющее 7000 а. е., происходят не чаще чем дважды для одной звезды за один период вращения Галактики. Возмущения от подобного сближения весьма невелики.

Напомним, что мы могли бы рассмотреть импульсное включение ракетного двигателя (т. е. такое, что при этом происходит изменение скорости, но местоположение за время работы двигателя не изменяется), если время работы двигателя мало по сравнению с периодом обращения по орбите. Совершенно аналогично эффект звездного сближения может также трактоваться как импульсный процесс, приводящий к изменению скорости, но не влияющий на координаты звезды. Это становится очевидным, если заметить, что продолжительность сближения приближенно определяется временем, которое необходимо телу, имеющему скорость , чтобы пройти расстояние порядка 7000 а. е. Это число (1659 лет) весьма мало по сравнению с периодом вращения Галактики, который составляет лет.